дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия


Выпуклость функции

  Пусть функция $ f(x)$ имеет на $ (a;b)$ производную $ f'(x)$. Функция $ f(x)$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда производная $ f'(x)$ не убывает на $ (a;b)$.
        Доказательство.     Пусть $ f(x)$ -- выпуклая функция. Возьмём точки $ a',b',x_1,x_2$ на интервале $ (a;b)$ так, чтобы они следовали в таком порядке: $ a<a'<x_1<x_2<b'<b$. По предыдущей теореме, функции $ t_{x_1}$ и $ t_{x_2}$ не убывают. Пользуясь также свойством (7.6), получаем цепочку:
$\displaystyle t_{a'}(x_1)=t_{x_1}(a')\leqslant t_{x_1}(x_2)=t_{x_2}(x_1)\leqslant t_{x_2}(b')= t_{b'}(x_2).$
В итоге получили, что $ t_{a'}(x_1)=t_{b'}(x_2)$, или
$\displaystyle \dfrac{f(a')-f(x_1)}{a'-x_1}\leqslant \dfrac{f(b')-f(x_2)}{b'-x_2}.$
Перейдем в левой части к пределу при $ a'\to x_1-$, а затем в правой части при $ b'\to x_2+$. Так как, по предположению, производная в точках $ x_1$ и $ x_2$ существует, то односторонние пределы существуют и равны производным в соответствующих точках, то есть $ {f'(x_1)\leqslant f'(x_2)}$. Ввиду того, что точки $ x_1$ и $ {x_2>x_1}$ можно было выбирать произвольно, это означает, что $ f'(x)$ не убывает на $ {(a;b)}$.
Пусть теперь производная $ f'(x)$ -- неубывающая функция. Фиксируем точку $ {x^*\in(a;b)}$ и найдём производную функции $ t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}$ при $ x\in(a;x^*)\cup(x^*;b)$. Она равна
$\displaystyle t'_{x^*}(x)=\dfrac{f'(x)(x-x^*)-(f(x)-f(x^*))}{(x-x^*)^2}.$
По формуле конечных приращений мы можем представить $ f(x)-f(x^*)$ в виде
$\displaystyle f(x)-f(x^*)=f'(c)(x-x^*),$
где $ c$ -- некоторая точка, лежащая между $ x$ и $ x^*$. Заметим, что при этом знак разности $ x-c$ -- тот же, что у разности $ x-x^*$. Получаем, что
$\displaystyle t'_{x^*}(x)=\dfrac{f'(x)-f'(c)}{x-x^*}.$
Так как $ f'$ -- неубывающая функция, то $ f'(x)-f'(c)\geqslant 0$ при $ x-c>0$ и, следовательно, при $ x-x^*>0$ и $ f'(x)-f'(c)\leqslant 0$ при $ x-c<0$ и, следовательно, при $ x-x^*<0$. В любом случае отношение неотрицательно, то есть $ t'_{x^*}(x)\geqslant 0$. По теореме 7.2 отсюда следует, что функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает, а по теореме 7.9 -- что функция $ f(x)$ выпукла.     
  Разумеется, верно следующее утверждение, аналогичное доказанной теореме:
дифференцируемая функция $ f$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда её производная $ f'(x)$ не возрастает.     
Если функция имеет во всех точках интервала вторую производную $ f''(x)$, то для исследования выпуклости можно воспользоваться следующим утверждением, которое вытекает из доказанной теоремы.
  Пусть на интервале $ (a;b)$ функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x)$. Функция $ f$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, и вогнута тогда и только тогда, когда $ f''(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$.
        Доказательство.     Производная $ f'(x)$ не убывает на $ (a;b)$ в том и только том случае, когда $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, и не возрастает в на $ (a;b)$ в том и только том случае, когда $ f''(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$. Поэтому утверждение теоремы сразу следует из теоремы 7.10 и замечания 7.9.     
Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.
Рис.7.34.$ f''(x)\geqslant 0$ на интервалах выпуклости и $ f''(x)\leqslant 0$ на интервалах вогнутости

        Пример 7.30   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert^3$, то есть
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -x^3,&\mbox{ при }x<0. \end{array}\right.$
Для этой функции
$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -3x^2,&\mbox{ при }x<0 \end{array}\right.$
(проверьте отдельно, что производная при $ x=0$ существует и равна 0) и
$\displaystyle f''(x)=\left\{\begin{array}{ll} 6x,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -6x,&\mbox{ при }x<0, \end{array}\right.$
то есть $ f''(x)=6\vert x\vert$. (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$; отсюда следует, что функция $ f(x)$ выпукла на всей оси.     

Рис.7.35.Функция $ f(x)=\vert x\vert^3$ выпукла на всей оси

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;