дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия


Выпуклость функции

        Теорема 7.9   Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (a;b)$ и $ x^*$ -- некоторая точка этого интервала. При всех $ x\ne x^*,\; x\in(a;b)$ определено разностное отношение -- функция
$\displaystyle t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}.$
Тогда функция $ f$ выпукла на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.
        Замечание 7.7   Функция $ t_{x^*}(x)$ равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка $ (x^*;f(x^*))$, а вторым концом -- переменная точка графика $ (x;f(x))$. Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды.
Рис.7.33.Угловой коэффициент хорды с фиксированным концом возрастает, если функция выпукла

Заметим также, что функция $ t_{x^*}(x)$ имеет следующее свойство:

Действительно,
$\displaystyle t_y(x)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=t_x(y).$    

    
        Доказательство теоремы 7.9.     Выберем любые две точки $ x_1,x_2\in(a;b)$. Предположим, что $ x^*<x_1<x_2$ (случаи иного расположения точек $ x^*,x_1,x_2$ рассматриваются аналогично). Поскольку $ x_1\in(x^*;x_2)$, то $ x_1={\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2$ при некотором $ {\alpha}\in(0;1)$. Нетрудно видеть, что тогда $ {\alpha}=\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}$ и $ 1-{\alpha}=\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}$. Поэтому из выпуклости функции $ f(x)$ следует, что
$\displaystyle f(x_1)=f({\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2)\leqslant \dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}f(x^*)+\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}f(x_2).$
Умножая на $ x_2-x^*>0$, получаем:
$\displaystyle (x_2-x^*)f(x_1)\leqslant (x_2-x_1)f(x^*)+(x_1-x^*)f(x_1).$
Теперь вычтем $ (x_2-x^*)f(x^*)$ из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов:
$\displaystyle (x_2-x^*)(f(x_1)-f(x^*))\leqslant (x_1-x^*)(f(x_2)-f(x^*)).$
Теперь разделим обе части неравенства на $ x_1-x^*>0$ и $ x_2-x^*>0$ и получим:
$\displaystyle \dfrac{f(x_1)-f(x^*)}{x_1-x^*}\leqslant \dfrac{f(x_2)-f(x^*)}{x_2-x^*},$
то есть
$\displaystyle t_{x^*}(x_1)\leqslant t_{x^*}(x_2).$
Это означает, что функция $ t_{x^*}$ -- неубывающая.
Доказательство того, что из неубывания функции $ t_{x^*}$ следует выпуклость функции $ f(x)$, можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке.     
        Замечание 7.8   Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение:
функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда при любом $ x^*\in(a;b)$ функция $ t_{x^*}(x)$ не возрастает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.     
Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;