дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия

Возрастание и убывание функции

   Пример 7.15   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3$. Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси $ \mathbb{R}$: из $ x_1<x_2$ следует, что $ x_1^3<x_2^3$. Однако неверно, что $ f'(x)>0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$: действительно, производная $ f'(x)=3x^2$ обращается в 0 при $ x=0$.     

 

Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) -- это нестрогое неравенство $ f'(x)\geqslant 0$.

Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной -- в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции $ f(x)$, надо решить относительно $ x$ неравенство $ f'(x)>0$, а чтобы найти интервалы убывания -- решить неравенство $ f'(x)<0$.

        Пример 7.16   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2\ln x$. Её производная такова:
$\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac{1}{x}= x(2\ln x+1).$
Интервал возрастания функции можно найти из неравенства
$\displaystyle x(2\ln x+1)>0.$
При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции $ x>0$, так что нужно решать неравенство $ 2\ln x+1>0$. Отсюда $ x>e^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$. Таким образом, функция $ f(x)$ возрастает на интервале $ (\dfrac{1}{\sqrt{e}};+\infty)$. Нетрудно видеть, что при $ x\in(0;\dfrac{1}{\sqrt{e}})$ выполняется обратное неравенство $ f'(x)<0$, так что на этом интервале функция убывает.     

 


Рис.7.17.График функции $ f(x)=x^2\ln x$

Если два интервала возрастания функции $ f(x)$ примыкают друг к другу, то есть имеют вид $ (a;b)$ и $ (b;c)$, и функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ b$, то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на $ (a;c)$. То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.

Рис.7.18.Объединение двух смежных интервалов возрастания функции

        Пример 7.17   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3e^x$. Её производная имеет вид
$\displaystyle f'(x)=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(3+x).$
Решая неравенство $ f'(x)>0$, получаем: $ x\in(-3;0)\cup(0;+\infty)$; при $ x=0$ функция, очевидно, непрерывна, так что $ f(x)$ возрастает на объединённом интервале, то есть при $ x\in(-3;+\infty)$. Решение неравенства $ f'(x)<0$ даёт только один интервал $ (-\infty;-3)$; на нём функция убывает.     

Рис.7.19.График функции $ f(x)=x^3e^x$

Геометрический смысл связи знака производной с направлением изменения функции легко виден из геометрического смысла производной: если угловой коэффициент касательной к графику $ y=f(x)$ (равный производной) положителен, то угол наклона касательной -- острый, что соответствует графику возрастающей функции. Если же угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона касательной -- тупой, и тогда функция убывает.

Рис.7.20.Связь угла наклона касательной с направлением изменения функции


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;