дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия

Асимптоты графика функции

 Пример 7.9   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x+e^{-x}$. Так как $ e^{-x}\to0$ при $ {x\to+\infty}$, то естественно рассматривать график $ y=\sin x$ как асимптотическую линию при $ {x\to+\infty}$ для графика исследуемой функции $ f(x)$.     

Рис.7.10.Асимптотическая линия $ y=\sin x$ для графика функции $ f(x)=\sin x+e^{-x}$ при $ x\to+\infty$


Вернёмся к наклонным асимптотам -- прямым линиям с уравнением $ y=kx+b$. Для их нахождения в тех случаях, когда значения $ k$ и $ b$ не очевидны, можно применять следующую теорему.
  Прямая $ y=kx+b$ служит наклонной асимптотой для графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$) в том и только том случае, когда

и

(соответственно, если
$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ и $\displaystyle b=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]).$
Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится $ {k=0}$) асимптоты достаточно найти два указанных предела $ k$ и, затем, $ b$. Прямая $ {y=kx+b}$ будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.
        Доказательство теоремы.     Докажем теорему в случае $ x\to+\infty$; доказательство при $ x\to-\infty$ проводится совершенно аналогично.
Перепишем условие (7.1), задающее асимптоту, в виде
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]= \lim_{x\to+\infty}x[\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}]=0.$
Так как первый множитель $ x\to+\infty$, то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}]=0.$
Но $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{b}{x}=0$ и $ \lim\limits_{x\to+\infty}k=k$, так что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}-k=0,$
откуда следует равенство (7.2). Теперь число $ k$ уже известно.
Подставляя это число в формулу (7.1), находим, что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]= \lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]-b=0,$
откуда следует равенство (7.3).     
        Пример 7.10   Найдём наклонные асимптоты графика $ y=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$.
Попробуем отыскивать сразу оба предела, и при $ x\to+\infty$, и при $ x\to-\infty$.
$\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-x+3}{x(x-1)}= \lim_{x\to\infty}\dfrac{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=2;$
$\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}[\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}-2x]= \lim_{x\to\infty}... ...fty}\dfrac{x+3}{x-1}= \lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}}=1.$
Итак, и при $ x\to+\infty$, и при $ x\to-\infty$ имеем $ k=2$ и $ b=1$, так что обе наклонные асимптоты совпадают друг с другом и имеют уравнение $ y=2x+1$, то есть, фактически, асимптота только одна.     

Рис.7.11.График $ y=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$ и его наклонная асимптота

        Замечание 7.2   Из определения асимптоты не следует, что если асимптоты при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ для одного и того же графика существуют, то они непременно совпадают. Это могут быть и различные прямые, как показывает следующий простой пример.     
        Пример 7.11   Рассмотрим график $ y=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$. При $ x\to-\infty$ график приближается к горизонтальной асимптоте $ y=-\frac{\pi}{2}$, а при $ x\to+\infty$ -- к другой горизонтальной асимптоте $ y=\frac{\pi}{2}$.     

Рис.7.12.График арктангенса имеет две разных горизонтальных асимптоты

Различными могут оказаться и не обязательно горизонтальные асимптоты:
        Пример 7.12   Рассмотрим функцию $ f(x)=2\sqrt{x^2+x+1}-x$. Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом.
Сначала найдём асимптоту $ y=kx+b$ при $ x\to+\infty$. Согласно доказанной теореме, имеем:
$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}= \lim_{x\to+\infty}(2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=2-1=1;$
\begin{multline*} b=\lim_{x\to+\infty}[(2\sqrt{x^2+x+1}-x)-x]= 2\lim_{x\to+\in... ...}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}= 2\cdot\frac{1}{2}=1. \end{multline*}
Таким образом, при $ x\to+\infty$ наклонной асимптотой служит прямая $ y=x+1$.
Теперь найдём асимптоту при $ x\to-\infty$. Имеем:
$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}= \lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1).$
Поскольку $ x\to-\infty$, мы можем считать, что в допредельном выражении $ x<0$. В полученной дроби поделим числитель и знаменатель на положительное число $ (-x)$. Тогда под корнем нужно будет поделить на $ (-x)^2=x^2$, и получится:
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1)= \lim_{x\to-\infty}(-2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=-2-1=-3.$
Вычисление $ b$ проведите сами в качестве упражнения. При этом получается $ b=-1$, так что наклонная асимптота при $ x\to-\infty$ имеет уравнение $ y=-3x-1$.     

Рис.7.13.График $ y=2\sqrt{x^2+x+1}-x$ и его две наклонных асимптоты

        Замечание 7.3   Если график $ y=f(x)$ имеет асимптоту $ y=kx+b$ (например, при $ x\to+\infty$) и существует предел производной:
$\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}f'(x),$
то $ k=l$. Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17
.
Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная $ f'(x)$ не имеет никакого предела при $ x\to+\infty$. Дело в том, что значения $ f(x)$ могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.     
        Пример 7.13   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^2+x$. Очевидно, что прямая $ y=x$ -- это асимптота графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$, так как первое слагаемое имеет предел, равный 0, при $ x\to+\infty$. Однако вычисление производной даёт
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\sin x^2+2\sin x^2,$
а эта функция при росте $ x$ совершает колебания, причём при больших $ x$ второе слагаемое становится пренебрежимо малым, и значения $ f'(x)$ колеблются примерно между $ -1$ и 3. Следовательно, производная не имеет предела при $ x\to+\infty$.
Если же рассмотреть функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^3+x$, то её производная оказывается даже неограниченной на любом луче вида

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;