дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия

Асимптоты графика функции

  Пример 7.6   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$. График этой функции имеет наклонную асимптоту $ y=\dfrac{x}{2}$ при $ x\to+\infty$. Действительно,
$\displaystyle f(x)-\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to0$ при $\displaystyle x\to+\infty.$
Однако эта функция не определена ни на каком луче вида $ (-\infty;a)$, так что её график не может иметь асимптоты при $ x\to-\infty$.     

Рис.7.7.Наклонная асимптота функции $ f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

        Пример 7.7   График функции $ f(x)=1+\dfrac{1}{x-1}$ имеет горизонтальную асимптоту $ y=1$ как при $ x\to+\infty$, так и при $ x\to-\infty$, поскольку, очевидно, $ f(x)\to1$ при $ x\to\pm\infty$. Можно сказать также, что асимптота при $ x\to-\infty$ у этого графика совпадает с асимптотой при $ x\to+\infty$.     

Рис.7.8.Горизонтальная асимптота функции $ f(x)=1+\dfrac{1}{x-1}$

Аналогично определению наклонной асимптоты можно дать также более общее определение:

        Определение 7.3   Линия $ y={\varphi}(x)$ называется асимптотической линией графика функции $ f(x)$ при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$), если обе эти функции определены на некотором луче $ (a;+\infty)$ (или луче $ (-\infty;a)$) и разность ординат графиков стремится к 0 при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$, соответственно).     

Если функция $ {\varphi}(x)$ -- линейная, то есть график $ y={\varphi}(x)$ -- наклонная прямая, то асимптотическая линия -- это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.

        Пример 7.8   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2+\frac{1}{x}$. При $ x\to\pm\infty$ график этой функции имеет асимптотическую линию $ y=x^2$, поскольку разность между $ f(x)$ и $ {{\varphi}(x)=x^2}$, равная, очевидно, $ \frac{1}{x}$, стремится к 0 при $ x\to\pm\infty$.     

Рис.7.9.Асимптотическая линия $ y=x^2$ графика функции $ f(x)=x^2+\frac{1}{x}$

        Замечание 7.1   Функции $ {\varphi}(x)$ и $ f(x)$ входят в определение асимптотической линии симметрично: если график $ y={\varphi}(x)$ -- асимптотическая линия для графика $ y=f(x)$, то и $ y=f(x)$ -- асимптотическая линия для $ y={\varphi}(x)$. На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен.     
       

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;