дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры

Асимптоты графика функции

 Пример 7.4   График функции $ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет при $ x=0$ вертикальной асимптоты, так как $ f(x)$ -- ограниченная (числом 1) и, следовательно, локально ограниченная при $ x\to0$ и не стремящаяся к бесконечности функция. Хотя аргумент синуса -- функция $ g(x)=\dfrac{1}{x}$ -- имеет вертикальную асимптоту $ x=0$.     

Рис.7.4.График функции $ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет вертикальной асимптоты купить лицензию касперский

        Пример 7.5   Прямая $ x=0$ не является вертикальной асимптотой графика функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$, поскольку здесь нельзя утверждать, что при $ x\to0-$ или $ x\to0+$ функция стремится к бесконечности. При некоторых малых значениях $ \vert x\vert$ значения $ \vert f(x)\vert$ могут быть как угодно велики, однако при других малых $ \vert x\vert$ функция обращается в 0: так, при $ x=\pm\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+n\pi}$ ($ n\in\mathbb{N}$) значения функции равны $ \dfrac{1}{x}$ и стремятся к бесконечности при $ n\to\infty$, а при всех $ x$ вида $ x=\pm\dfrac{1}{n\pi}$ ($ n\in\mathbb{N}$) значения функции равны 0. В то же время как те, так и другие точки $ x$ при увеличении $ n$ попадают всё ближе и ближе к точке 0. Значит, функция $ f(x)$ не является бесконечно большой при $ x\to0\pm$, и прямая $ x=0$ -- не асимптота.     

Рис.7.5.График функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет вертикальной асимптоты

Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности.

        Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции $ {y=f(x)}$ при $ {x\to+\infty}$ называется прямая $ y=kx+b$, если выполнены два условия:
1) некоторый луч $ (a;+\infty)$ целиком содержится в $ \mathcal{D}(f)$;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $ x\to+\infty$:
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]=0.$(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции $ y=f(x)$ при $ x\to-\infty$ называется прямая $ y=kx+b$, если
1) некоторый луч $ (-\infty;a)$ целиком содержится в $ \mathcal{D}(f)$;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $ x\to-\infty$:
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}[f(x)-(kx+b)]=0.$
    

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при $ x\to+\infty$ и при $ x\to-\infty$

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при $ k=0$, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая $ y=c=\mathrm{const}$ является горизонтальной асимптотой графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$ или $ x\to-\infty$, если

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=с$
или
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=с$
соответственно.
      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;