дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Формула Тейлора Матрицы, теоремы, упражнения Матрицы


Упражнения  

        Упражнение 6.5   Найдите разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$ функций
а) $ f(x)=e^{-x}$;
б) $ f(x)=e^{3x}$;
в) $ f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$;
г) $ f(x)=\sin x^2$;
д) $ f(x)=\cos3x$;
е) $ f(x)=\mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}$;
ж) $ f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$;
з) $ f(x)=\sqrt{1-x^2}$.

Ответы:

а) $ e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^n}{n!}+ R_n(x)$;

б) $ e^{3x}=1+3x+\dfrac{3^2}{2!}x^2-\dfrac{3^3}{3!}x^3+\ldots+ (-1)^n\dfrac{3^n}{n!}x^n+R_n(x)$;

в) $ e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{2^22!}- \dfrac{x^6}{2^33!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{2^nn!}+R_{2n+1}(x)$;

г) $ \sin x^2=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{4k-2}}{(2k-1)!}+R_{4k+1}(x)$;

д) $ \cos3x=1-\frac{3^2}{2!}x^2+\frac{3^4}{4!}x^4-\frac{3^6}{6!}x^6+\ldots+ (-1)^k\frac{3^{2k}}{(2k)!}x^{2k}+R_{2k+1}(x)$;

е) $ \mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}+\frac{x^3}{6!}+\ldots+ \frac{x^k}{(2k)!}+R_k(x)$;

ж) $ \dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots+(-1)^kx^{2k}+R_{2k+1}(x)$;

з) $ \sqrt{1-x^2}=1+\dfrac{1}{2}x^2+ \dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}x^4+ \dfrac{1\cdot3\... ...1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot4\cdot\ldots\cdot(2k)}x^{2k}+ R_{2k+1}(x)$.     

        Упражнение 6.6   Найдите следующие пределы, применив разложение числителя и знаменателя по формуле Тейлора:
а) $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^3}-1-x^3}{\sin3x^2-3x^2}$;
б) $ \lim\limits_{x\to0} \dfrac{\ln(1-x^2)+x^2+\frac{x^4}{2}}{e^{2x^2}-1-2x^2-2x^4}$.

Ответы:
а) $ -\frac{1}{9}$;
б) $ -\frac{1}{4}$.     

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;