Курс лекций математического анализа. Примеры задачи

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Вернемся к задаче, поставленной в начале главы: можно ли в поле комплексных чисел решить любое квадратное уравнение (пока только с вещественными коэффициентами)? Для квадратного уравнения мы одно решение знаем: . Очевидно, что , поэтому . Следовательно, оба корня такого уравнения известны.

        Замечание 17.2   Числа и в поле комплексных чисел абсолютно равноправны. Если бы число обозначить и построить с этим обозначением новое поле комплексных чисел, то оно будет в точности таким же, как и исходное.         

Рассмотрим уравнение , где  -- вещественное положительное число. Легко проверить, что его корни , , где  -- обычный арифметический корень.

Решим уравнение , где  -- вещественные числа, , . Для этого выделим в правой части полный квадрат (см.  пример 12.1):

Откуда

Если обозначить , а обозначить , то получим уравнение предыдущего типа, его решения:

Поэтому

то есть

Итак, если дискриминант отрицательный, то корни уравнения находятся по формулам:

(17.5)

        Пример 17.2   Решите уравнение .

Решение. Находим дискриминант:

Находим корни:

Ответ: .         

 

• Лекции первого семестра первого курса
  	Линейная алгебра. Элементы векторной алгебры Аналитическая геометрия Введение в математический анализ Дискретная математика Системы координат Элементы высшей алгебры Вычислить значение функции
  Лекции второго семестра первого курса
  	Дифференциальное исчисление функции одной переменной Теоремы о среднем Раскрытие неопределенностей Производные и дифференциалы высших порядков Интегральное исчисление Методы интегрирования Интегрирование по частям
  Лекции второго курса, третий семестр
  	Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения Лагранжа и Клеро Решение задачи Коши методом разделения переменных Ряды Критерий Коши Ряды Фурье Ряды Тейлора и Лорана Ряды и интеграл Фурье
  Теория вероятностей. Основные понятия
  	Формула Бейеса. Формула Бернулли Распределение Пуассона Теория массового обслуживания Случайные процессы Примеры решения задач Цепи Маркова. изменить порядок интегрирования Математика Примеры решения задач
  Математический анализ
  	Двойной интеграл Двойной интеграл в полярных координатах Тройной интеграл Формула Остроградского Формула Стокса Скалярное и векторное поле
  Математический анализ часть вторая
  	Функции Гиперболические функции Геометрический смысл производной Логарифмическое дифференцирование Теорема Тейлора Разложение по формуле Маклорена
  Числовые ряды Степенные ряды
  	Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда Теорема Лейбница Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование
  Теория функций комплексногопеременного - ТФКП
  	Пространственная комплексная система чисел Функции пространственного комплексного переменного Интегральные теоремы Коши в комплексном пространстве

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;