дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, формула Тейлора задачи примеры решения задач


Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Используя оценку остаточного члена в форме Лагранжа, можно провести анализ погрешности в формулах приближённого дифференцирования, предполагая шаг $ h$ малым.

Пусть функция $ f(x)$ разложена по формуле Тейлора, с остаточным членом в форме Лагранжа, в точке $ x_0$. Положим $ x=x_0+h$, тогда

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h^2.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+{\varepsilon}(x_0;h),$

где

$\displaystyle {\varepsilon}(x_0;h)=\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h$ --

погрешность формулы приближённого дифференцирования, получающаяся при замене $ f'(x_0)$ на разностную производную $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Следовательно,

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{m_2}{2}h,$

где

$\displaystyle m_2=\max_{x\in[x_0;x_0+h]}\vert f''(x)\vert.$

Как правило, заранее известна более грубая оценка для $ f''$ на некотором отрезке $ [a;b]$, включающем в себя $ [x_0;x_0+h]$:

$\displaystyle M_2=\max_{x\in[a;b]}\vert f''(x)\vert\geqslant m_2,$

и $ M_2$ не зависит от $ x_0$ и $ h$. Тогда

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}h;$

из этой оценки и определяют погрешность вычислений при данном шаге $ h$.

Аналогично, можно получить оценку погрешности для разностной производной вида

$\displaystyle \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$

Ошибку $ {\varepsilon}(x_0;h)$ при замене $ f'(x_0)$ на это отношение можно оценить исходя из разложения $ f(x)$ в точке $ x_0$ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа порядка 3:

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2+ \frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}}\in(x_0;x_0+h)$. Подставляя сюда $ -h$ вместо $ h$, получаем:

$\displaystyle f(x_0-h)=f(x_0)-f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2- \frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}_1}\in(x_0-h;x_0)$. Вычтем из первой формулы вторую:

$\displaystyle f(x_0+h)-f(x_0-h)=f'(x_0)\cdot2h+ \frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3- \frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}-\dfrac{1}{12}\left( f'''(x_{{\theta}})- f'''(x_{{\theta}_1})\right)h^2.$

Если теперь предположить, что

$\displaystyle \max_{x\in[a;b]}\vert f'''(x)\vert=M_3,$

то оценка погрешности получится такая:

        Упражнение 6.4   Исследуйте приближённую формулу $\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert=\vert f'(x_0)-\dfrac{f(x_0+h)-f(x_... ...)\vert+\vert f'''(x_{{\theta}_1})\vert\right)h^2\leqslant \dfrac{1}{6}M_3h^2.$

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0-2h)-8f(x_0-h)+8f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{12h}.$

Какая степень приращения $ h$ будет множителем в оценке ошибки $ {\varepsilon}(x_0;h)$? Оценки каких производных войдут в формулу для оценки ошибки?     

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;