дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Комплексные числа

Построение поля комплексных чисел

Из курса школьной математики известно, что любое уравнение $ {ax+b=0}$ имет решение при $ {a\ne0}$ . С другой стороны, квадратное уравнение не всегда имеет решение. Например, решения не имеет уравнение $ {x^2+1=0}$ . Возникает вопрос, нельзя ли сделать так, чтобы любое квадратное уравнение имело решение?

Предположим, что уравнение $ {x^2+1=0}$ имет решение. Число (абстрактный элемент, не принадлежащий полю вещественных чисел), которое является решением, обозначим буквой $ i$ , то есть $ {i^2=-1}$ . Мы должны иметь возможность умножать это число на любое вещественное число. Значит, должны появиться числа вида $ bi$ , где $ b$  -- вещественное число. Для них должна быть возможность сложения с любым вещественным числом. Поэтому должны появиться числа вида $ {a+bi}$ .

        Определение 17.1   Числа вида $ a+bi$ , где $ a$ и $ b$  -- вещественные числа, называются комплексными числами.         

Посмотрим, какие действия арифметики можно производить с комплексными числами. Сложение чисел должно удовлетворять обычным правилам, поэтому:

$\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$(17.1)

При вычислении произведения скобки раскроем привычным способом:
$\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2= ac+(bc+ad)i+bdi^2.$
Так как $ i^2=-1$ , то получим
$\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.$(17.2)

Итак, результаты сложения и умножения комплексных чисел снова оказались комплексными числами. Операцию вычитания определить не сложно:
$\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$(17.3)

Рассмотрим операцию деления. Учтем, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число дробь не меняется:
$\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}= \frac{ac+bci-adi-bdi^2}{c^2-d^2i^2}.$
Так как $ i^2=-1$ , то
$\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+ \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i.$(17.4)

Результат деления двух комплексных чисел оказывается снова комплексным числом. Как видно из полученной формулы, деление нельзя выполнить лишь в том случае, когда $ {c=d=0}$ , но в этом случае делитель $ {c+di}$ тоже равен нулю. Следовательно, невозможно лишь деление на нуль, что соответствует обычным правилам действий с числами.

Итак, мы вроде бы расширили множество вещественных чисел. Но есть в этом построении один существенный пробел. Мы предположили, что есть такое число $ i$ , что $ {i^2=-1}$ . А, может быть, его на самом деле нет? Чтобы исправить это упущение, используем для построения комплексных чисел уже существующее множество.

Пусть $ \mathcal{P}$  -- множество пар вещественных чисел: $ {\mathcal{P}=\{(a,b)\vert a,b\in\mathbb{R}\}}$ . На этом множестве определим операции

  1. сложения:
  2. $\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);$
  3. вычитания:
    $\displaystyle (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d);$
  4. умножения:
    $\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad);$
  5. деления:
    $\displaystyle \frac{(a,b)}{(c,d)}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2} \right).$

Очевидно, что комплексное число, как оно было определено раньше, -- просто другая форма записи пары вещественных чисел $ (a,b)$ , где вместо запятой стоит "+", а второй элемент пары выделяется умножением на букву $ i$ . В новой форме записи вещественные числа -- это пары $ {(a,0)}$ , числу $ i$ соответствует пара $ {(0,1)}$ , сложение, вычитание, умножение и деление пар чисел и комплексных чисел происходят по одинаковым правилам. Таким образом, комплексные числа стали реально существующим множеством.

Однако в математике, в силу традиции, используется запись комплексного числа $ {a+bi}$ , введенная в начале раздела. Причем принято считать, что

$\displaystyle a+0\cdot i=a,\quad 0+bi=bi,\quad0+0\cdot i=0,\quad1\cdot i=i.$

Можно проверить, что комплексные числа образуют поле. В нем обратным элементом к комплексному числу $ {a+bi}$ служит результат деления 1 на $ {a+bi}$ :

$\displaystyle \frac1{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2-b^2i^2}= \frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac a{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}i.$
Это поле называется полем комплексных чисел и обозначается $ \mathbb{C}$ .

Число $ i$ называется мнимой единицей, числа $ bi$  -- мнимыми числами. Если $ {z=a+bi}$ , то число $ a$ называется вещественной частью комплексного числа и обозначается $ \mathop{\rm Re}\nolimits z$ , число $ b$ называется мнимой частью и обозначается $ \mathop{\rm Im}\nolimits z$ . Число $ {a-bi}$ называется сопряженным числу $ z$ и обозначается $ \ovl z$ , то есть $ {\ovl z=\overline{a+bi}=a-bi}$ .

       

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;