дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики задачи Аналитическая геометрия


Второй способ задания функции: с помощью формулы

Если множество $ A=\mathcal{D}(f)$ бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция $ f:x\mapsto y$ может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента $ x$ найти соответствующее ему значение $ y$, например:

$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \arcsin x,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[-1;1];$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x^2\mbox{, если }x\geqslant 0,\\ -x^2\mbox{, если }x<0, \end{array}\right.,\quad \mbox{ при }\mathcal{D}(f)=\mathbb{R};$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \sqrt[4]{x},$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[0;+\infty);$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \ln(1-x),$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;1);$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \ln x_1x_2,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\sbs\mathbb{R}^2.$ 


 

 

        Замечание 1.3   Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах $ A$, считаются различными. Так, функция $ f(x)=\arcsin x$ при $ x\in[0;1]$ и функция $ g(x)=\arcsin x$ при $ x\in[-1;1]$ -- это две разные функции, так как функция $ f$ устанавливает соответствие между точками множества $ [0;1]$ и некоторыми точками числовой прямой, а функция $ g$ -- между точками другого множества $ [-1;1]$ и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции -- "близкие родственники", так как $ {f(x)=g(x)}$ при всех $ {x\in[0;1]}$.     

 

 

 

        Определение 1.6   Если дана функция $ f:A\to B$, и $ \wt A\sbs A$, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции $ f$ только на элементах $ x\in\wt A$. Эта функция $ \wt f:\wt A\to B$ определена равенством $ \wt f(x)=f(x)$ при $ x\in\wt A$. Функция $ \wt f$ называется ограничением функции $ f$ на подмножество $ \wt A\sbs A$ её области определения $ A=\mathcal{D}(f)$ и обозначается $ f\vert _{\wt A}$, то есть $ \wt f=f\vert _{\wt A}$.     

 

 

 

        Пример 1.12   Пусть $ A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция $ f$ задана формулой
$\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$
Рассмотрим на плоскости $ A$ подмножество -- прямую линию $ L$, заданную уравнением $ x+y=1$. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции $ f\vert _L$ точки только прямой $ L$. Ограничение $ f\vert _L(x;y)$ определено только при $ x+y=1$, поэтому его, кроме исходной формулы
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,$
можно задать такими формулами:
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1$(1.1)

(так как $ y=1-x$ на прямой $ L$), или
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1$(1.2)

(так как $ x=1-y$ на прямой $ L$). Во всех точках $ (x;y)$ прямой $ L$ все три формулы дают одно и то же значение функции $ f\vert _L$. Мы видим, что формула (1.1) даёт для $ f\vert _L$ те же значения, что функция одного переменного $ x$: $ f_1(x)=-2x^2+4x-1$, а формула (1.2) -- те же значения, что функция одного переменного $ y$: $ f_2(y)=-2y^2+1$.
Две последние функции называются параметризациями ограничения $ f\vert _L$.     

       

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;