дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, формула Тейлора задачи примеры решения задач


Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

  Упражнение 6.1   Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции $ f(x)=\ln(1+x)$. Вычислите значения этих производных при $ x_0=0$ и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение
$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots+ (1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+R_n(x).$
    
        Упражнение 6.2   Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции $ f(x)=(1+x)^{{\alpha}}$ при фиксированном $ {\alpha}\in\mathbb{R}$. Вычислите значения этих производных при $ x_0=0$ и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение
$\displaystyle (1+x)^{{\alpha}}=1+{\alpha}x+\frac{{\alpha}({\alpha}-1)}{1\cdot2}... ...alpha}({\alpha}-1)\ldots({\alpha}-n+1)}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}x^n+ R_n(x).$
    
        Упражнение 6.3   Покажите, что разложения по формуле Тейлора для функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$ выглядят так:
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots+ \dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x)$
и
$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots+ \frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$
Сравните найденные разложения с разложениями для $ \sin x$, $ \cos x$ и $ e^x$.     

На основе полученных разложений можно получать и разложения многих других функций.

        Пример 6.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=xe^{x^2}$. Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$. Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,
$\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+R_n(z),$
и положим в нём $ z=x^2$:
$\displaystyle e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2). $
Теперь умножим левую и правую части этой формулы на $ x$:
$\displaystyle xe^{x^2}=x+x^3+\frac{x^5}{2!}+\frac{x^7}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{n!} +xR_n(x^2).$
Заметим, что бесконечно малое при $ x\to0$ выражение $ \tilde R(x)=xR_n(x^2)$ имеет тот же или больший порядок малости, как $ x^{2(n+1)+1}=x^{2n+3}$, и поэтому может рассматриваться как остаточный член $ R_{2n+2}(x)$ в формуле Тейлора для $ f(x)$, а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.     

Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.

        Пример 6.2   Найдём предел
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$
Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:
$\displaystyle e^x-1-x=-1-x+1+x+\frac{x^2}{2}+r_3(x)= \frac{x^2}{2}+r_3(x),$
где через $ r_3(x)$ обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и $ x^3$. Разложение для знаменателя имеет вид:
$\displaystyle \sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}=(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+s_3(x))- (1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+t_3(x)),$
где остаточные члены $ s_3(x)$ и $ t_3(x)$ тоже имеют тот же порядок малости, что и $ x^3$, при $ x\to0$. Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен
$\displaystyle -(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x).$
Итак,
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}= \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{x^2}{2}+r_3(x)} {-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x)}=$   
$\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{r_3(x)}{x^2}} {-(\frac{1}{... ...rac{s_3(x)-t_3(x)}{x^2}}= \dfrac{\frac{1}{2}}{-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})}=-3.$   
 

Заметим, что этот способ раскрытия неопределённостей типа $ \left[\dfrac{0}{0}\right]$ в некоторых случаях, подобных разобранному в примере, менее трудоёмок, чем применение правила Лопиталя.

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;