дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, формула Тейлора задачи примеры решения задач


Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Разность между функцией $ f(x)$ и её многочленом Тейлора называется $ n$-м остатком, или $ n$-м остаточным членом; обозначим этот остаток через $ R_n(x)$:

$\displaystyle R_n(x)=f(x)-P(x).$

Формула $ f(x)=P(x)+R_n(x)$, в более развёрнутой форме имеющая вид

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),$

называется формулой Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, а представление функции $ f(x)$ в таком виде -- её разложением по формуле Тейлора.

Если считать, что остаток $ R_n(x)$ мал, то его можно отбросить без большой погрешности; при этом получается приближённая формула

$\displaystyle f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,$

дающая возможность для приближённого нахождения значений функции $ f(x)$.

Выясним, в каком смысле можно понимать "малость" остатка $ R_n(x)$ в формуле Тейлора, чтобы этой приближённой формулой мы могли пользоваться осмысленно.

        Теорема 6.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)   Пусть $ R_n(x)$ -- остаток в формуле Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, и функция $ f(x)$ имеет непрерывную $ (n+1)$-ю производную. Тогда $ R_n(x)$ -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как $ (x-x_0)^{n+1}$, при $ x\to x_0$. (Остаточный член $ R_n(x)$, о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)

        Доказательство.     Утверждение теоремы означает, что существует

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=L.$

При $ L\ne0$ остаток $ R_n(x)$ будет иметь тот же порядок малости, что $ (x-x_0)^{n+1}$, а при $ L=0$ -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}= \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-P(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}{(x-x_0)^{n+1}}.$   
 


Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём $ n$ раз:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}{(x-x_0)^{n+1}}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f'(x)-f'(x_0)-f''(x_0)(x-x_0)-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}}{(n+1)(x-x_0)^n}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f''(x)-f''(x_0)-f'''(x_0)(x-x_0)-\ldots- \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2}}{(n+1)n(x-x_0)^{n-1}}=$   
$\displaystyle =\ldots=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{(n+1)n(n-1)\ldots2(x-x_0)}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ f^{(n+1)}(x)}{(n+1)n(n-1)\ldots2\cdot1}= \dfrac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)n(n-1)\ldots2\cdot1}=L.$   
 


Последний предел мы вычислили прямой подстановкой, поскольку по предположению $ f^{(n+1)}(x)$ -- непрерывная функция. Существование предела доказывает утверждение теоремы.     

Доказанная теорема утверждает, что при малых отклонениях от $ x_0$ значения $ P(x)$ будут отклоняться от $ f(x)$ не более чем на величину $ (n+1)$-го порядка малости относительно разности $ x-x_0$, что даёт нам уверенность в том, что замена $ f(x)$ на многочлен Тейлора $ P(x)$ будет давать очень хорошее приближение, и это приближение будет улучшаться, если мы будем увеличивать значения $ n$. Однако доказанная теорема не даёт нам оценки остатка $ R_n(x)$. Этот пробел устраняет следующая теорема.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;