Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

Поля

        Определение 16.3   Полем называется коммутативное кольцо с единицей, в котором любой элемент, отличный от нуля, имеет обратный.         

Термин "кольцо с единицей" означает, что в кольце существет такой элемент $ e$ , что для любого элемента $ a$ выполнено $ {ae=a}$ и $ {ea=a}$ . Можно доказать, что элемент $ e$ , если он существует, определяется однозначно. Обратным элементом к элементу $ a$ называется такой элемент $ b$ , что $ {ab=e}$ . Можно доказать, что при этом $ {ba=e}$ , и что элемент $ b$ определяется однозначно. Обратный элемент к элементу $ a$ обозначается $ a^{-1}$ .

Примерами полей служат множество рациональных чисел и множество вещественных чисел. Последнее обычно обозначается $ \mathbb{R}$ . Можно доказать, что кольцо $ \mathbb{Z}_n$ также будет полем, если $ n$  -- простое число. Например, при $ {n=5}$ обратные элементы определяются так:

$\displaystyle 1^{-1}=1,\quad2^{-1}=3,\quad3^{-1}=2,\quad4^{-1}=4.$

 

Еще один пример поля получим, если рассмотрим множество несократимых дробей вида $ \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , где $ P(x)$ и $ Q(x)$  -- многочлены, причем коэффициент при старшей степени $ x$ в многочлене $ Q(x)$ равен единице. Сложение и умножение производится по обычным правилам сложения и умножения дробей, только в результате обязательно производится сокращение на общий множитель, если таковой имеется. Заметим, что многочлен $ P(x)$ может иметь нулевую степень, то есть являться обычным числом, многочлен $ Q(x)$ тоже может быть числом, но в этом случае он обязательно равен 1.

Такое поле носит название поля дробно-рациональных функций.

В следующей главе мы рассмотрим еще один, очень важный, пример поля, а именно, поле комплексных чисел.


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы