дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

Группы

    Пример 16.4   Множество $ \mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией "$ \propto$ " является группой. Проверка ассоциативности потребует просмотра 9 троек $ {(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto\mathfrak{a}}$ , $ {(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto \mathfrak{b}}$ и т.д. Роль элемента $ \mathfrak{e}$ выполняет элемент $ \mathfrak{a}$ . Обратные элементы: $ {\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , $ {\tilde\mathfrak{b}=\mathfrak{b}}$ .         

Векторы на прямой, плоскости, в пространстве с операцией сложения также образуют группу.

Во всех разобранных примерах операция "$ \propto$ " обладала свойством коммутативности: $ {\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b}=\mathfrak{b}\propto\mathfrak{a}}$ . Группа, в которой операция обладает таким свойством, называется коммутативной группой или абелевой группой по имени норвежского математика Н.Х.Абеля.

Если мы рассмотрим множество $ \mathfrak{G}$ , состоящее из квадратных матриц порядка $ n$ с ненулевым определителем и в качестве операции "$ \propto$ " возьмем умножение матриц, то получим группу. Роль элемента $ \mathfrak{e}$ выполняет единичная матрица $ E$ , и для элемента $ \mathfrak{a}$ , являющегося матрицей $ A$ , элементом $ \tilde\mathfrak{a}$ служит матрица $ A^{-1}$ . В этой группе, как мы видели в разделе "Умножение матриц", операция умножения некоммутативна. Такие группы называются некоммутативными.

В коммутативных группах операцию обычно называют операцией сложения и обозначают "$ +$ ", элемент $ \mathfrak{e}$ называют нулем группы и обозначают "0", хотя этот элемент, вообще говоря, числом не является. Элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ называют противоположным элементу $ \mathfrak{a}$ и обозначают " $ -\mathfrak{a}$ ".

Если группа некоммутативная, то операцию называют умножением, $ \mathfrak{e}$ называют единицей группы, а элемент $ \tilde\mathfrak{a}$  -- обратным элементом к $ \mathfrak{a}$ и обозначают $ \mathfrak{a}^{-1}$ .

Исходя из требований к операции, данных в определении группы, можно доказать, что в любой группе элемент $ \mathfrak{e}$ только один, что для любого элемента $ \mathfrak{a}$ выполнено условие $ {\mathfrak{a}\mathfrak{e}= \mathfrak{e}\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , что элемент $ \tilde\mathfrak{a}$ для элемента $ \mathfrak{a}$ определяется однозначно и что $ {\tilde\mathfrak{a}\mathfrak{a}= \mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .

Теории групп посвящены обширные математические исследования. Они эффективно используются в различных областях математики. С помощью теории групп было, например, доказано, что корни многочлена степени выше четвертой нельзя выразить через конечную комбинацию элементарных функций от коэффициентов многочлена.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;