дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры Кривые и поверхности


Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

   Пример 15.5   Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4... ... -5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$
Решение. Составляем расширенную матрицу системы:
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 2&-1&-1&-1&2&0\\ -5&7&1&10&-11&0\\ -1&5&-1&8&-7&0\end{array}\right).$
Умножим первую строку последовательно на $ (-2)$ , 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&12&-4&20&-16&0\\ 0&6&-2&10&-8&0\end{array}\right).$
Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам. Получим матрицу
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{array}\right).$
Прямой ход метода Гаусса закончен. У полученной матрицы легко определить ранг, ее базисный минор $ \left\vert\begin{array}{rr}1&1\\ 0&-3\end{array}\right\vert$ . Отсюда следует, что $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*_2=2}$ . По  теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы, в нашем случае фундаментальная система состоит из трех решений.
Переходим к системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5&0,\\ -3x_2+x_3-5x_4+4x_5&0.\end{array}\right.$
Неизвестные $ x_1$ и $ x_2$ оставляем в левой части, остальные переносим в правую часть:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}x_1+x_2&x_3-2x_4+x_5,\\ -3x_2&-x_3+5x_4-4x_5.\end{array}\right.$
Положим $ {x_3=1}$ , $ {x_4=x_5=0}$ . Получим $ {x_2=\frac13}$ , $ {x_1=\frac23}$ . Первое решение из фундаментальной системы: $ {x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac23\\ \vphantom{\dfrac11}\frac13\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$ .
Положим $ {x_3=x_5=0}$ , $ {x_4=1}$ . Получим $ {x_2=-\frac53}$ , $ {x_1=-\frac13}$ . Второе решение из фундаментальной системы решений: $ {x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}-\frac53\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ .
Положим $ {x_3=x_4=0}$ , $ {x_5=1}$ . Получим $ {x_2=\frac43}$ , $ {x_1=-\frac13}$ . Третье решение из фундаментальной системы решений: $ {x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ . Фундаментальная система решений найдена. Общее решение имеет вид
$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+C_3x^{(3)}.$
Ответ: Фундаментальная система решений:
$ {x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac23\\ \vphantom{\dfrac11}\frac13\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$ , $ {x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}-\frac53\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ , $ {x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ , общее решение: $ {\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)=C_1 \lef... ...frac11}-\frac13\\ \vphantom {\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ .         
        Замечание 15.7   Если решения, составляющие фундаментальную систему, умножить на любые ненулевые числа, то вновь полученные решения снова будут образовывать фундаментальную систему. Поэтому в предыдущем примере фундаментальную систему образуют и такие решения:
$ \hat x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ 3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ , $ \hat x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}-1\\ -5\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ , $ \hat x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}-1\\ 4\\ 0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ . Общее решение можно записать так: $ \left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)= C_1\left... ...d{array}\right)+C_3 \left(\begin{array}{r}-1\\ 4\\ 0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ .         
 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;