дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры Кривые и поверхности


Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

  
   Пример 15.3   Найдите общее решение системы уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2x_3-x_4=3,\\ 2x_1-x_2+3x_3+4x_4=-1,\\ 4x_1+x_2+7x_3+2x_4=6,\\ 5x_1-x_2+3x_3+2x_4=-3.\end{array}\right.$
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrr} 1&1&2&-1&3\\ 2&-1&3&4&-1\\ 4&1&7&2&6\\ 5&-1&3&2&-3\end{array}\right).$
Ко второй строке прибавим первую, умноженную на $ (-2)$ , к третьей строке прибавим первую, умноженную на $ (-4)$ , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на $ (-5)$ :
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrr} 1&1&2&-1&3\\ 0&-3&-1&6&-7\\ 0&-3&-1&6&-6\\ 0&-6&-7&7&-18\end{array}\right).$
Вторую строку, умноженную на $ (-1)$ , прибавим к третьей:
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrr} 1&1&2&-1&3\\ 0&-3&-1&6&-7\\ 0&0&0&0&1\\ 0&-6&-7&7&-18\end{array}\right).$
В третьей строке все элементы $ a_{3j}^{(2)}$ равны нулю, а элемент $ {b_3^{(2)}\ne0}$ . Значит, система несовместна.
Ответ: Система несовместна.         
        Пример 15.4   Решите систему
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+3x_3-x_4=1,\\ 3x_1+2x_2-x_3+x_4=2,\\ 2x_1+x_2+2x_3-3x_4=1,\\ 4x_1-2x_2-x_3-3x_4=2.\end{array}\right.$
Решение. Имеем:
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrr} 2&-1&3&-1&1\\ 3&2&-1&1&2\\ 2&1&2&-3&1\\ 4&-2&-1&-3&2\end{array}\right).$
Первую строку, умноженную на числа $ \left(-\frac32\right)$ , $ (-1)$ , $ (-2)$ , прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам:
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrr} 2&-1&3&-1&1\\ 0&\vphantom{\dfrac... ...&-\frac{11}2& \frac52&\frac12\\ 0&2&-1&-2&0\\ 0&0&-7&-1&0\end{array}\right).$
К третьей строке прибавим вторую, умноженную на $ \left(-\frac47\right)$ . Получим
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrr} 2&-1&3&-1&1\\ 0&\vphantom{\dfrac... ...tom{\dfrac11}\frac{15}7&-\frac{24}7&-\frac27\\ 0&0&-7&-1&0\end{array}\right).$
К четвертой строке прибавим третью, умноженную на $ \frac{49}{15}$ :
$\displaystyle A^*_3=\left(\begin{array}{rrrrr} 2&-1&3&-1&1\\ 0&\vphantom{\dfrac... ...ac27\\ 0&0&0&\vphantom{\dfrac11}-\frac{61}5&-\frac{14}{15}\end{array}\right).$
Выписываем по матрице $ A^*_3$ систему уравнений:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\,\,=\,}r}2x_1-x_2+3x_3-x_4&1,\\ \vphan... ...frac27,\\ \vphantom{\dfrac11}-\frac{61}5x_4&-\frac{14}{15}.\end{array}\right.$
Находим последовательно значения неизвестных:
$\displaystyle x_4=\frac{14}{183},\quad x_3=\left(-\frac27+\frac{24}7x_4\right):... ... =\left(-\frac27+\frac{24}7\cdot\frac{14}{183}\right):\frac{15}7=-\frac2{183},$
$\displaystyle x_2=\left(\frac12+\frac{11}2x_3-\frac52x_4\right):\frac72= \left... ...1}2\cdot\frac2{183}-\frac52\cdot\frac{14}{183} \right):\frac72=\frac{13}{183},$
$\displaystyle x_1=(1+x_2-3x_3+x_4):2=\left(1+\frac{13}{183}+\frac6{183}+\frac{14}{183} \right):2=\frac{108}{183}.$
Ответ: $ x_1=\frac{108}{183},\quad x_2=\frac{13}{183},\quad x_3=-\frac2{183},\quad x_4=\frac{14}{183}$ .         
        Замечание 15.6   Так же, как и при решении системы уравнений по правилу Крамера, при использовании метода Гаусса приходится выполнять большой объем вычислительной работы. Из-за этого вполне возможно, что будет допущена какая-либо ошибка в вычислениях. Поэтому желательно после решения системы выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Для выполнения полной проверки подстановку нужно произвести во все уравнения системы. Если же по каким-то причинам это не выполнимо, то можно подставить найденные значения в одно уравнение. В отличие от правила Крамера в методе Гаусса эту подстановку нужно производить в ПОСЛЕДНЕЕ уравнение исходной системы. При наличии в этом уравнении всех неизвестных эта подстановка почти всегда покажет наличие ошибки, если таковая была допущена.         
     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;