дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра


Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

  Пример 15.2   Найдите общее решение системы уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_2+x_3-2x_4+4x_5+x_6=2,\\ 8x_2+4x_3-8x_4+13x_5+2x_6=14,\\ 6x_2+3x_3-6x_4+6x_5-x_6=18,\end{array}\right.$
где неизвестными являются $ x_1,\ldots,x_6$ .
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrrrr}0&2&1&-2&4&1&2\\ 0&8&4&-8&13&2&14\\ 0&6&3&-6&6&-1&18\end{array}\right).$
Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число $ {\left(-\dfrac82\right)=-4}$ , к третьей строке прибавим первую, умноженную на $ {\left(-\dfrac62\right)=-3}$ . В результате получим
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrrr}0&2&1&-2&4&1&2\\ 0&0&0&0&-3&-2&6\\ 0&0&0&0&-6&-4&12\end{array}\right).$
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на число $ {\left(-\dfrac{-6}{-3}\right)=-2}$ . Получим
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrrr}0&2&1&-2&4&1&2\\ 0&0&0&0&-3&-2&6\\ 0&0&0&0&0&0&0\end{array}\right).$
Прямой ход метода Гаусса закончен. Выписываем по матрице $ A^*_2$ систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l} 2x_2+x_3-2x_4+4x_5+x_6&2,\\ -3x_5-2x_6&6.\end{array}\right.$
Переносим в правую часть неизвестные $ {x_1,\,x_3,\,x_4,\,x_6}$ (неизвестное $ x_1$ реально в ней присутствовать не будет, коэффициент перед ним равен нулю). Получаем
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l} 2x_2+4x_5&2-x_3+2x_4-x_6,\\ -3x_5&6+2x_6.\end{array} \right.$
Пусть $ {x_1=C_1}$ , $ {x_3=C_2}$ , $ {x_4=C_3}$ , $ {x_6=C_4}$ . Из уравнений находим:
$\displaystyle x_5=-2-\frac23C_4,$
$\displaystyle x_2=-2x_5+1-\frac12 C_2+C_3-\frac12C_4=4+\frac43C_4+1-\frac12C_2+C_3-\frac12 C_4=5-\frac12C_2+C_3+ \frac56C_4.$
Ответ: $ {x_1=C_1}$ , $ {x_2=5-\dfrac12C_2+C_3+\dfrac56C_4}$ , $ {x_3=C_2}$ , $ {x_4=C_3}$ , $ {x_5=-2-\dfrac23C_4}$ , $ {x_6=C_4}$ , где $ C_1$ , $ C_2$ , $ C_3$ , $ C_4$  -- произвольные числа.         
        Замечание 15.5   В процессе решения можно также установить, какие ранги у матриц $ A$ и $ A^*$ и где расположены их базисные миноры. В предыдущем примере $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*=2}$ , базисный минор расположен в строках с номерами 1, 2, столбцах с номерами 2, 5.         
     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;