дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Кривые и поверхности


Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

  Теорема 5.3 (Лагранжа)   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$ и непрерывна в точках $ a$ и $ b$. Тогда найдётся такая точка $ x_0\in(a;b)$, что

        Замечание 5.3   Формулу (5.1) можно записать в виде

Если считать, что аргументу $ a$ придано приращение $ {\Delta}x=b-a$, то функция получает приращение $ {\Delta}f=f(b)-f(a)$. (При этом мы не считаем, что $ {\Delta}x$ и $ {\Delta}f$ стремятся к 0, то есть это конечные, а не бесконечно малые, приращения.) При этих обозначениях формулу (5.2) мы можем записать в виде
$\displaystyle {\Delta}f=f'(x_0){\Delta}x,$
в котором участвуют конечные приращения аргумента и функции. Поэтому формулу (5.2) называют формулой конечных приращений.     

        Доказательство теоремы Лагранжа.     Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика $ y=f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ хордой. Конечные приращения $ {\Delta}x=b-a$ и $ {\Delta}f=f(b)-f(a)$ -- это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.

Рис.5.5.Касательная в некоторой точке параллельна хорде

Отношение конечных приращений $ {\Delta}f$ и $ {\Delta}x$ -- это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке $ x_0$ касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной $ {\alpha}$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=f'(x_0)$) будет равен углу наклона хорды $ {\beta}$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}$). Но наличие такой касательной геометрически очевидно.

Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки $ (a;f(a))$ и $ (b;f(b))$ -- это график линейной функции $ \ell(x)$. Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно, $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$, то

$\displaystyle \ell(x)=f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
(мы учли то, что график линейной функции проходит через точку $ (a;f(a))$).

Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию $ g(x)=f(x)-\ell(x)$, то есть

$\displaystyle g(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$
Заметим, что $ g(a)=f(a)-\ell(a)=0$ и $ g(b)=f(b)-\ell(b)=0$ (по построению функции $ \ell(x)$). Так как линейная функция $ \ell(x)$ дифференцируема при всех $ x\in\mathbb{R}$, то функция $ g(x)=f(x)-\ell(x)$ удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ g'(x_0)=0$.

Заметим теперь, что

$\displaystyle g'(x)=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)'=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$
Значит, равенство $ g'(x_0)=0$ можно переписать в виде
$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$
Таким образом, мы доказали формулу (5.1).     

Из теоремы Лагранжа вытекает утверждение, обратное к тому, что производная постоянной есть 0, а именно:

        Следствие 5.1   Пусть на интервале $ (a,b)$ функция $ f(x)$ имеет производную $ f'(x)$, тождественно равную 0: $ f'(x)=0\;\forall\;x\in(a;b)$. Тогда $ f(x)=\mathrm{const}$ на интервале $ (a;b)$.

        Доказательство.     Заметим для начала, что непрерывность функции $ f(x)$ в любой точке интервала $ (a;b)$ следует из дифференцируемости в этой точке. Значит, теорему Лагранжа можно применить к функции $ f(x)$ на любом отрезке $ [x_1;x_2]\sbs(a;b)$.

Возьмём любые две точки $ x_1,x_2\in(a;b)$, такие что $ x_1<x_2$, и выпишем для функции $ f(x)$ на отрезке $ [x_1;x_2]$ формулу конечных приращений: $ f(x_2)-f(x_1)=f'(x_0)(x_2-x_1)$, при некотором $ x_0\in(x_1;x_2)$. Но в любой точке производная по предположению равна 0, в том числе $ f'(x_0)=0$. Отсюда $ f(x_2)-f(x_1)=0$, или $ f(x_2)=f(x_1)$. Обозначим это общее значение через $ c$. Выбирая произвольно точку $ x=x_2>x_1$, получим, что $ f(x)=c$ при всех $ x>x_1$; выбирая произвольно точку $ x=x_1<x_2$, -- что $ f(x)=c$ при всех $ x<x_2$. Но это означает, что $ f(x)=c$ при всех $ x\in(a;b)$.     

      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;