дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Кривые и поверхности


Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

    Теорема 5.2 (Ролля)   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$, непрерывна в точках $ a$ и $ b$ и принимает в этих точках значение 0: $ f(a)=f(b)=0$. Тогда найдётся хотя бы одна точка $ x_0\in(a;b)$, в которой $ f'(x_0)=0$.
        Замечание 5.2   Это утверждение можно переформулировать так: между двумя корнями $ a$ и $ b$ дифференцируемой функции $ f(x)$ обязательно найдётся корень её производной $ f'(x)$ (то есть точка $ x_0\in(a;b)$, такая что $ f'(x_0)=0$). Условие $ f'(x_0)=0$ означает, что касательная, проведённая к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$, расположена горизонтально.
Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень $ x_0$ -- единственный корень производной на интервале $ (a;b)$; на этом интервале может находиться несколько корней производной.     

Рис.5.4.Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит хотя бы один корень её производной

        Доказательство теоремы Ролля.     Так как при наших предположениях функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, то она принимает своё максимальное значение $ M$ и минимальное значение $ m$ в некоторых точках $ x_M$ и $ x_m$ этого отрезка.

Рассмотрим два случая. Если $ M=m$, то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке $ [a;b]$: $ f(x)=\mathrm{const}$. Значит, $ f'(x)=0$ при всех $ x\in(a;b)$, и в качестве $ x_0$ в этом случае можно взять любую точку $ x$ интервала $ (a;b)$.

Если же $ M>m$, то либо $ M$, либо $ m$ отлично от 0 и, следовательно, либо точка $ x_M$, либо точка $ x_m$ не совпадает с концами отрезка $ a$ и $ b$, то есть лежит внутри интервала $ (a;b)$. Пусть, для определённости, $ x_m$ -- внутренняя точка интервала. Тогда, по теореме Ферма, $ f'(x_m)=0$, поскольку по предположению доказываемой теоремы, $ f(x)$ имеет производную во всех точках интервала $ (a;b)$ и, следовательно, в точке $ x_m$. Итак, в этом случае точку $ x_m$ можно взять в качестве искомой точки $ x_0$: тогда $ f'(x_0)=0$.     

      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;