дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Кривые и поверхности


Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

  Пример 5.1   Функция $ f(x)=x^2$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$. Производная функции существует при всех $ x$: $ f'(x)=2x$. В точке минимума производная, действительно, оказывается равной 0: $ f'(x_0)=f'(0)=2\cdot0=0$, так что утверждение теоремы Ферма выполнено.     

Рис.5.2.График $ y=x^2$

        Пример 5.2   Функция $ f(x)=\vert x\vert$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$. Производная функции при $ x=0$ не существует. (Производная существует при всех $ x\ne0$, она равна 1 при $ x>0$ и $ -1$ при $ x<0$.) Итак, в точке минимума этой функции производная не существует, и утверждение теоремы Ферма снова выполнено.     

Рис.5.3.График $ y=\vert x\vert$

Далее мы будем предполагать, что функция $ f(x)$, заданная на отрезке $ [a;b]$, удовлетворяет следующим условиям: она непрерывна на отрезке $ [a;b]$ и дифференцируема на интервале $ (a;b)$; существование односторонних производных в точках $ a$ и $ b$, вообще говоря, не предполагается. Непрерывность во всех внутренних точках отрезка, конечно, следует из предположенной дифференцируемости, а вот непрерывность в точках $ a$ (непрерывность справа) и $ b$ (непрерывность слева) из дифференцируемости в точках интервала не следует.

    

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;