Ядерное оружие | Теория атома Вентилируемый фасад цены. Вопросы и цены на вентилируемые фасады. | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Единая локальная сеть: интернет провайдер свиблово. Быстрый интернет для дома. Средства доставки | Разное | Фотоальбом лестницы для дома | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Самое время купить Коттедж - куплю коттедж. Продажа коттеджа во Владимире. Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Курс лекций математического анализа. Примеры задачи Кривые и поверхности

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

Первая теорема имеет вспомогательный характер для дальнейшего, хотя важна и сама по себе.

Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором множестве $ \mathcal{D}$, и $ E\sbs\mathcal{D}$. Назовём точку $ x_0\in E$ точкой максимума функции $ f$ на множестве $ E$, если при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$, и точкой минимума, если при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ f(x)\geqslant f(x_0)$.

Точка $ x_0$, являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.

        Теорема 5.1 (Ферма)   Пусть функция $ f(x)$ имеет на множестве $ E$ точку экстремум а $ {x_0\in E}$, причём множество $ E$ содержит некоторую $ {\delta}$-окрестность $ {E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$ точки $ x_0$. Тогда либо $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ производную, равную 0, то есть $ f'(x_0)=0$, либо производная в точке $ x_0$ не существует.

Рис.5.1.Поведение функции в окрестности точки экстремума



        Замечание 5.1   Заметим, что условие $ f'(x_0)=0$ означает, что тангенс угла $ {\alpha}$ наклона касательной к графику $ y=f(x)$, проведённой при $ x=x_0$, равен 0. Отсюда $ {{\alpha}=0}$, то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).     

        Доказательство теоремы Ферма.     Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная $ f'(x_0)$ существует. Рассмотрим два случая.

Пусть функция имеет в точке $ x_0$ максимум. Тогда $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)\leqslant 0$ при всех $ x\in E_{{\delta}}$, поскольку $ f(x)\leqslant f(x_0)$. Если взять $ x>x_0, x\in E_{{\delta}}$, то $ {\Delta}x=x-x_0>0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$. При вычислении производной мы переходим к пределу при $ {\Delta}x\to0$ в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$
Аналогично, при $ x<x_0, x\in E_{{\delta}}$, $ {\Delta}x=x-x_0<0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$. Отсюда, вычисляя предел слева, получаем:
$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$
Итак, выполняются два неравенства: $ f'(x_0)\leqslant 0$ и $ f'(x_0)\geqslant 0$, что возможно лишь при $ f'(x_0)=0$.

Пусть теперь функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ минимум. Тогда $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)\geqslant 0$ при всех $ x\in E_{{\delta}}$, поскольку $ f(x)\geqslant f(x_0)$. Если взять $ x>x_0, x\in E_{{\delta}}$, то $ {\Delta}x=x-x_0>0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$. Переходя к пределу при $ {\Delta}x\to0+$ в разностном отношении, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$
Аналогично, при $ x<x_0, x\in E_{{\delta}}$, $ {\Delta}x=x-x_0<0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$. Вычисляя предел слева, получаем:
$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$
Из неравенств $ f'(x_0)\geqslant 0$ и $ f'(x_0)\leqslant 0$ получаем, что $ f'(x_0)=0$.     
      
 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы