дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

Однородная система уравнений

        Предложение 15.2   Однородная система уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ ... ...\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0\end{array}\right.$(15.7)

всегда является совместной.

        Доказательство.    Для этой системы набор чисел $ {x_1=0}$ , $ {x_2=0}$ , $ \dots$ , $ {x_n=0}$ является решением.     

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: $ {Ax=0}$ .

        Предложение 15.3   Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

        Доказательство.     Пусть $ c$ и $ d$ служат решениями системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {Ac=0}$ и $ {Ad=0}$ . Пусть $ {g=c+d}$ . Тогда

$\displaystyle Ag=A(c+d)=Ac+Ad=0+0=0.$

Так как $ Ag=0$ , то $ g$  -- решение.

Пусть $ {\alpha}$  -- произвольное число, $ {h={\alpha}c}$ . Тогда

$\displaystyle Ah=A({\alpha}c)={\alpha}(Ac)={\alpha}\cdot 0=0.$

Так как $ Ah=0$ , то $ h$  -- решение.     

        Следствие 15.1   Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.    

        Определение 15.5   Будем говорить, что решения $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ системы $ {Ax=0}$ образуют фундаментальную систему решений, если столбцы $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.         
        Определение 15.6   Пусть $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$  -- фундаментальная система решений однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда выражение
$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)},$
где $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$  -- произвольные числа, будем называть общим решением системы $ {Ax=0}$ .         

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ из общего решения получим решение однородной системы.

Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)".

        Теорема 15.3   Пусть $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$  -- фундаментальная система решений однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {{\rm Rg}A+k=n}$ , где $ n$  -- число неизвестных в системе.    

Доказательство читатель может найти, например, в [1].

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;