Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

        Определение 15.3   Система (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет.         

Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=1,\\ 2x_1+2x_2=2,\\ 3x_1+3x_2=3\end{array}\right.$(15.4)
 


имеет решение $ {x_1=2}$ , $ {x_2=-1}$ и даже имеет бесконечно много решений, а система из двух уравнений с тремя неизвестными

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0,\\ 2x_1+2x_2+2x_3=1\end{array}\right.$(15.5)
 


решений не имеет, то есть является несовместной.

Ответ на вопрос о совместности произвольной системы уравнений (15.1) дает приведенная ниже теорема.

        Определение 15.4   Расширенной матрицей системы линейных уравнений (15.1) называется матрица $ A^*$ , отличающаяся от матрицы $ A$ системы наличием дополнительного столбца из свободных членов:
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&b_1\\ ... ...{2n}&b_2\\ \hdotsfor{5}\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&b_m\end{array}\right).$
        
        Предложение 15.1   Ранг расширенной матрицы $ A^*$ либо равен рангу матрицы системы $ A$ , либо больше его на единицу.

        Доказательство.    Так как любая линейно независимая система столбцов матрицы $ A$ является линейно независимой системой столбцов матрицы $ A^*$ , то в силу предложения 14.26 $ {{\rm Rg}A\leqslant {\rm Rg}A^*}$ .

Пусть $ {{\rm Rg}A=r}$ . Предположим, что $ {{\rm Rg}A^*=r+k}$ , $ {k>1}$ . Тогда в матрице $ A^*$ есть линейно независимая система из $ {r+k}$ столбцов. Среди этих столбцов может быть только один, не принадлежащий матрице $ A$ . Тогда подсистема остальных $ {r+k-1}$ столбцов, принадлежащих матрице $ A$ , должна быть линейно независимой. Следовательно, $ {{\rm Rg}A\geqslant r+k-1}$ . Получили противоречие. Предположение, что $ {k>1}$ , неверно.     

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Вопрос про травму: реабилитация после травмы . Травмы - фото.Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Цветы с доставкой, огромный выбор: цветов . Объявления о купле продаже.Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы