дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

Правило Крамера

Рассмотрим частный случай системы линеных уравнений (15.1), когда $ {m=n}$ , то есть когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Именно такие системы при $ {n=2}$ или $ {n=3}$ рассматриваются в школе.

Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица $ A$ исходной системы -- квадратная, порядка $ n$ , $ x$ и $ b$  -- столбцы высоты $ n$ . Предположим, что $ \vert A\vert\ne0$ . Тогда по теореме 14.1 существует обратная матрица. Умножив слева обе части равенства  (15.2) на $ A^{-1}$ , получим

$\displaystyle A^{-1}Ax=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad Ex=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad x=A^{-1}b.$

Таким образом, система уравнений (15.1) имеет единственное решение и оно в матричной форме может быть записано в виде

$\displaystyle x=A^{-1}b.$(15.3)
 


Это так называемый матричный способ решения системы линейных уравнений.

Введем следующие обозначения. Пусть $ {{\Delta}=\vert A\vert}$ , $ {\Delta}_i$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ A$ заменой столбца с номером $ i$ на столбец $ b$ свободных членов, $ {i=1,2,\dots,n}$ :

\begin{multline*} {\Delta}_1=\left\vert\begin{array}{cccc}b_{1}&a_{12}&\dots&a_... ...dotsfor{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&b_{n}\end{array}\right\vert. \end{multline*}
        Теорема 15.1   (Правило Крамера) Если в системе $ n$ линейных уравнений с $ n$ неизвестными $ {\Delta}\ne0$ , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами
$\displaystyle x_1=\frac{{\Delta}_1}{{\Delta}},\quad x_2=\frac{{\Delta}_2}{{\Delta}},\quad \dots,\quad x_n=\frac{{\Delta}_n}{{\Delta}}.$

        Доказательство.     По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

$\displaystyle A^{-1}=\frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\do... ...\dots&A_{n2}\\ \hdotsfor{4}\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$

где $ A_{ij}$ -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

$\displaystyle x= \frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\dots&... ..._n\\ \hdotsfor{1}\\ A_{1n}b_1+A_{2n}b_2+\ldots+A_{nn}b_n\end{array}\right).$

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя $ {\Delta}_1$ по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя $ {\Delta}_2$ по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому $ {x=\dfrac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{c}{\Delta}_1\\ {\Delta}_2\\ \vdots\\ {\Delta}_n\end{array}\right)}$ , откуда и следует утверждение теоремы.     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;