дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра



Линейная зависимость векторов

Предложение 10.7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Доказательство.

Пусть в системе векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ подсистема $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_m$ , $ {m\leqslant k}$ , является линейно зависимой, то есть $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_m{\bf a}_m=0$ , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_m{\bf a}_m+0{\bf a}_{m+1}+\ldots+0{\bf a}_k$ . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

Упражнение10.4.1. Докажите, что если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Предложение 10.8 Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Доказательство. Пусть система состоит из вектора $ {\bf a}_1$ . Линейная комбинация имеет вид $ {\alpha}_1{\bf a}_1$ . Если $ {{\bf a}_1=0}$ , то $ {1\cdot{\bf a}_1=0}$ , то есть система линейно зависима. Если $ {{\alpha}_1{\bf a}_1=0}$ и $ {\alpha}_1\ne0$ , то $ {{\bf a}_1={\alpha}_1^{-1}\cdot 0=0}$ .

Предложение 10.9 Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Доказательство этого предложения предоставляется читателю. Оно аналогично доказательству следующего предложения.

Предложение 10.10 Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Доказательство. Пусть векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- компланарные. Если $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ -- коллинеарные, то в силу предыдущего предложения они образуют линейно зависимую подсистему системы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ . По предложению 10.7 система $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- линейно зависима. Если векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ -- неколлинеарные, то по предложению 10.2 $ {\bf a}_3$ является линейной комбинацией векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ и по предложению 10.6 система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- линейно зависимая.

Пусть система векторов линейно зависима. По предложению 10.6 один вектор, скажем $ {\bf a}_1$ , является линейной комбинацией других векторов, $ {\bf a}_2$ и $ {\bf a}_3$ , $ {{\bf a}_1={\alpha}_2{\bf a}_2+{\alpha}_3{\bf a}_3}$ . Правая часть последнего равенства лежит в плоскости, в которой лежат векторы $ {\bf a}_2,{\bf a}_3$ . Поэтому вектор $ {\bf a}_1$ лежит в одной плоскости с векторами $ {\bf a}_2,{\bf a}_3$ , то есть векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- компланарные.

Предложение 10.11 Четыре вектора всегда образуют линейно зависимую систему.

Доказательство. Если первые три вектора являются компланарными, то они образуют линейно зависимую подсистему (предложение 10.10). Следовательно, вся система линейно зависима (предложение 10.7). Если первые три вектора-- некомпланарные, то четвертый является их линейной комбинацией (предложение 10.3). По предложению 10.6 система является линейно зависимой.

На основании сказанного дадим другое определение базиса, которое является более распространенным, чем определение 10.12.

Определение 10.16 Базисом векторного пространства $ L$ называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства $ L$ раскладывается по векторам этой системы.

Из предложений 10.8 – 10.11 следует, что это определение эквивалентноопределению 10.12.


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;