дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома аренда звукового оборудования киев | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование

Ранг матрицы

Алгоритм нахождения ранга матрицы.

Пусть требуется вычислить ранг матрицы $ A$ размеров $ m\times n$ . Если матрица $ A$ нулевая, то по определению $ {{\rm Rg}A=0}$ . В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что $ {a_{11}\ne0}$ .

Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . В результате вторая строка принимает вид

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{22}^{(1)}&\dots&a_{2n}^{(1)}\end{array}\right).$

Затем к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ . В результате третья строка принимает вид

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{32}^{(1)}&\dots&a_{3n}^{(1)}\end{array}\right).$

Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке.

Преобразованная матрица имеет вид

$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ots&\dots\\ 0&a_{m2}^{(1)}&a_{m3}^{(1)}&\dots&a_{mn}^{(1)}\end{array}\right).$

Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля $ a_{11}$ . В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что $ {a_{22}^{(1)}\ne0}$ .

Первую и вторую строки оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{32}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}\right)$ . В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{42}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}\right)$ , и т.д. В результате получаем матрицу

$\displaystyle A^{(2)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ts&\dots&\dots&\dots\\ 0&0&a_{m3}^{(2)}&\dots&a_{mn}^{(2)}\end{array}\right).$

Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то $ {{\rm Rg}A^{(2)}=2}$ , так как минор $ {\left\vert\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\ 0&a_{22}^{(1)}\end{array}\right\vert=a_{11}a_{22}^{(1)}\ne0}$ . В противном случае перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т.д.

На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с $ {(r+1)}$-ой , равны нулю (или отсутствуют при $ {r=m\leqslant n}$ ), а минор в первых $ r$ строках и первых $ r$ столбцах является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на диагонали. Ранг такой матрицы равен $ r$ . Следовательно, $ {{\rm Rg}A=r}$ .     

        Замечание 14.15   В предложенном алгоритме нахождения ранга матрицы все вычисления должны производиться без округлений. Сколь угодно малое изменение хотя бы в одном из элементов промежуточных матриц может привести к тому, что полученный ответ будет отличаться от ранга исходной матрицы на несколько единиц.         
        Замечание 14.16   Если в исходной матрице элементы были целыми числами, то и вычисления удобно производить без использования дробей. Поэтому на каждом этапе целесообразно умножать строки на такие числа, чтобы при вычислениях дроби не возникали.         
        Пример 14.12   Найдите ранг матрицы $ A=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 3&1&4&-1\\ 5&9&-13.5&1\\ 3&5&-7&1\end{array}\right)$ .
Решение. Первую строку оставляем без изменений. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2:
$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 6&2&8&-2\\ 10&18&-27&2\\ 6&10&-14&2\end{array}\right).$
Первую строку умножим на $ (-3)$ и прибавим ко второй. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&-4&11&-2\end{array}\right)}$ . Первую строку умножим на $ (-5)$ и прибавим к третьей. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&8&-22&2\end{array}\right)}$ . Первую строку умножим на $ (-3)$ и прибавим к четвертой. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&4&-11&2\end{array}\right)}$ . В итоге имеем матрицу
$\displaystyle A^{(2)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 0&-4&11&-2\\ 0&8&-22&2\\ 0&4&-11&2\end{array}\right).$
Вторую строку оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 2. Получим строку $ {\left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&-2\end{array}\right)}$ . К четвертой строке прибавляем вторую. Получим нулевую строку. Преобразованная матрица имеет вид
$\displaystyle A^{(3)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 0&-4&11&-2\\ 0&0&0&-2\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Поменяем местами третий и четвертый столбцы:
$\displaystyle A^{(4)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&0&-1\\ 0&-4&-2&11\\ 0&0&-2&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Базисный минор матрицы $ A^{(4)}$ стоит в первых трех столбцах и первых трех строках, $ {{\rm Rg}A^{(4)}=3}$ . Следовательно, $ {{\rm Rg}A=3}$ .         
        Замечание 14.17   В приведенном примере вычисления были бы проще, если сначала четвертый столбец сделать первым и четвертую строку сделать первой. Но для того, чтобы догадаться об этом, нужно анализировать вопросы делимости чисел, что достаточно сложно описать в алгоритме, пригодном для всех случаев.         

диное, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Следуя учебнику  [1], мы будем обозначать его $ {\rm Rg}A$ .

      
    

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;