дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование

Ранг матрицы

В этом разделе рассмотрим еще одну важную числовую характиристику матрицы, связанную с тем, насколько ее строки (столбцы) зависят друг от друга.

        Определение 14.10   Пусть дана матрица $ A$ размеров $ m\times n$ и число $ k$ , не превосходящее наименьшего из чисел $ m$ и $ n$ : $ {k\leqslant \min(m,n)}$ . Выберем произвольно $ k$ строк матрицы $ A$ и $ k$ столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных $ k$ строк и $ k$ столбцов, называется минором порядка $ k$ матрицы $ A$ .         
        Пример 14.9   Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrrr}1&2&-1&0\\ 3&4&-5&6\\ 5&-2&-3&-4\end{array}\right)}$ .
Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, $ -5$ , $ -4$  -- миноры первого порядка.
Миноры второго порядка:
  1. возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор $ {\left\vert\begin{array}{rr}1&2\\ 3&4 \end{array}\right\vert=-2}$ ;
  2. возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор $ {\vphantom{\begin{array}{r}1\\ 2\\ 3\end{array}}\left\vert\begin{array}{rr}2&0\\ -2&-4\end{array}\right\vert=-8}$ ;
  3. возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор $ {\left\vert\begin{array}{rr}3&6\\ 5&-4 \end{array}\right\vert=-42}.$
Миноры третьего порядка:
строки здесь можно выбрать только одним способом,
  1. возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор $ {\vphantom{\begin{array}{r}1\\ 2\\ 3\\ 1\end{array}}\left\vert\begin{array}{rrr}1&-1&0\\ 3&-5&6\\ 5&-3&-4\end{array}\right\vert=-4}$ ;
  2. возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор $ {\left\vert\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&-5\\ 5&-2&-3\end{array}\right\vert=-28}$ .
        
        Предложение 14.23   Если все миноры матрицы $ A$ порядка $ k$ равны нулю, то все миноры порядка $ {k+1}$ , если такие существуют, тоже равны нулю.

        Доказательство.     Возьмем произвольный минор порядка $ {k+1}$ . Это определитель матрицы порядка $ {k+1}$ . Разложим его по первой строке. Тогда в каждом слагаемом разложения один из множителей будет являться минором порядка $ k$ исходной матрицы. По условию миноры порядка $ k$ равны нулю. Поэтому и минор порядка $ {k+1}$ будет равен нулю.     

        Определение 14.11   Рангом матрицы $ A$ называется наибольший из порядков миноров матрицы $ A$ , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.         

Единое, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Следуя учебнику  [1], мы будем обозначать его $ {\rm Rg}A$ .

      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;