дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование

Определители

Алгоритм создания нулей в столбце.
Пусть требуется вычислить определитель матрицы $ A$ порядка $ n$ . Если $ {a_{11}=0}$ , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель $ A$ , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица $ A$ имеет нулевой столбец и по  предложениям 14.11, 14.18 ее определитель равен нулю.
Итак, считаем, что уже в исходной матрице $ {a_{11}\ne0}$ . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . Тогда первый элемент второй строки будет равен
$\displaystyle a_{21}^{(1)}=a_{21}+a_{11}\left(-\frac{a_{21}}{a_{11}}\right)=0.$
Остальные элементы новой второй строки обозначим $ a_{2k}^{(1)}$ , $ {k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен $ \vert A\vert$ .
Первую строку умножим на число $ \left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен
$\displaystyle a_{31}^{(1)}=a_{31}+a_{11}\left(-\frac{a_{31}}{a_{11}}\right)=0.$
Остальные элементы новой третьей строки обозначим $ a_{3k}^{(1)}$ , $ {k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен $ \vert A\vert$ .
Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число $ \left(-\dfrac{a_{n1}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее $ A^{(1)}$ , которая имеет вид
$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ots&\dots\\ 0&a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right),$
причем $ \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert$ . Для вычисления определителя матрицы $ A^{(1)}$ используем разложение по первому столбцу
$\displaystyle \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert=a_{11}A_{11}^{(1)}+0\cdot A_{21}^{(1)}+\ldots+0\cdot A_{n1}^ {(1)}.$
Так как $ (-1)^{1+1}=1$ , то
$\displaystyle \vert A\vert=a_{11}\left\vert\begin{array}{cccc}a_{22}^{(1)}&a_{2... ...s&\dots\\ a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right\vert.$
В правой части стоит определитель матрицы порядка $ {n-1}$ . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы $ A$ сведется к вычислению определителя матрицы порядка $ {n-2}$ . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.     
Если матрица $ A$ не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма -- по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.
        Пример 14.6   Вычислите определитель матрицы
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 3&1&7&0\\ -4&-1&2&1\\ -6&7&1&-1\end{array}\right)$
.
Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\dfrac32$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}3&1&7&0\end{array}\right)+\left(-\dfrac3... ...ay}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&\dfrac52&\dfrac52&-3\end{array}\right).$
Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-4}2\right)=2$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-4&-1&2&1\end{array}\right)+2\left(\begi... ...-1&3&2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&-3&8&5\end{array}\right).$
Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-6}2\right)=3$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-6&7&1&-1\end{array}\right)+3\left(\begi... ...-1&3&2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&4&10&5\end{array}\right).$
Определитель не меняется. В результате получаем
$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 0& \phantom... ...\phantom{\dfrac52}\frac52&\frac52&-3\\ -3&8&5\\ 4&10&5\end{array}\right\vert.$
По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{-3}{\left(\frac52\right)}\right)=\dfrac65}$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-3&8&5\end{array}\right)+\dfrac65\left(\b... ...2&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&11&\dfrac75\end{array}\right).$
К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{4}{\left(\frac52\right)}\right)=-\dfrac85}$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}4&10&5\end{array}\right)-\dfrac85\left(\b... ...-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&6&\dfrac{49}5\end{array}\right).$
В результате получаем
\begin{multline*} \vert A\vert=2\left\vert\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac52}\... ...5\left(11\cdot\frac{49}5-6\cdot\frac75\right)=11\cdot49-42=497. \end{multline*}
Ответ. $ \vert A\vert=497$ .         
        Замечание 14.11   Внимательный читатель, наверное, отметил, что хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа -- целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.         

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;