дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование

Определители

   Пример 14.4   Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\ -1&0&-2\\ -4&-3&5\end{array}\right)}$ . Тогда
$\displaystyle A_{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}-1&-2\\ -4&5\end{array}\right\vert=13,$
$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&2\\ -1&0\end{array}\right\vert=2.$
        

 Замечание 14.10   Используя алгебраические дополнения, определение 14.6 определителя можно записать так:

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{1k}A_{1k}.$
        

 Предложение 14.16   Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы $ A$ справедлива формула

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.$

        Доказательство.     Если $ i=1$ , положим $ {B=A}$ . Пусть $ {i\ne1}$ . Тогда $ i$ -ую строку поменяем местами со строкой с номером $ {i-1}$ . Определитель сменит знак. Затем строку с номером $ {i-1}$ поменяем местами со строкой с номером $ {i-2}$ . Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока $ i$ -ая строка матрицы $ A$ не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим $ B$ . Отметим, что в матрице $ B$ , начиная со второй строки, стоят строки матрицы $ A$ , причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы $ A$ к матрице $ B$ определитель сменит знак $ i-1$ раз (проверьте для случая $ i=3$ ). Таким образом

$\displaystyle \vert A\vert=(-1)^{i-1}\vert B\vert.$ (14.11)


Это соотношение верно и при $ i=1$ . По определению 14.6 определителя,

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^nb_{1k}(-1)^{k+1}N_k,$

 

где $ N_k$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ B$ вычеркиванием первой строки и $ k$ -ого столбца. Первая строка матрицы $ B$ совпадает с $ i$ -ой строкой матрицы $ A$ , поэтому $ {b_{1k}=a_{ik}}$ . Результат вычеркивания в матрице $ B$ первой строки и $ k$ -ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице $ A$ $ i$ -ой строки и $ k$ -ого столбца. Поэтому $ {N_k=M_{ik}}$ , где $ M_{ik}$  -- определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице $ A$ $ i$ -ой строки и $ k$ -ого столбца. Следовательно,

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{k+1}M_{ik}.$

 

В силу равенства (14.11) получим

$\displaystyle \vert A\vert=(-1)^{i-1}\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{k+1}M_{ik}=\sum_{k=1}^n a_{ik} (-1)^{i+k}M_{ik}.$

По определению 14.7 алгебраического дополнения получим $ {(-1)^{i+k} M_{ik}=A_{ik}}$ . Тогда из предыдущего равенства вытекает

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik},$

что и требовалось доказать.   

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;