дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование

Определители

     Предложение 14.6   При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть $ {\vert A^\top\vert=\vert A\vert}$ .     

Предложение 14.7   Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть $ {\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert}$ .     

 Предложение 14.8   Если в матрице $ A$ поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.     

Ввиду ограниченности курса доказательства этих трех свойств мы опускаем. Читатель может найти их в учебниках по линейной алгебре [3], [5] или же может без особых сложностей проверить их на матрицах второго и третьего порядков.

        Предложение 14.9   Если матрица $ A$ имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Поменяем местами две одинаковые строки. В силу предложения 14.8 определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что $ {\vert A\vert=-\vert A\vert}$ , откуда следует, что $ {\vert A\vert=0}$ .     

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

        Предложение 14.10   Если строку матрицы умножить на число $ {\alpha}$ , то ее определитель умножится на это число.

        Доказательство.     Пусть $ A$ -- исходная матрица, $ B$  -- матрица, полученная из $ A$ умножением первой строки на число $ {\alpha}$ :

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}... ...n}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{array}\right).$

Тогда

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}{\alpha}a_{1k}M_k,$

где $ M_k$ -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ B$ или, что то же самое, из матрицы $ A$ вычеркиванием первой строки и $ k$ -ого столбца.

Вынесем множитель $ {\alpha}$ за знак суммы и получим

$\displaystyle \vert B\vert={\alpha}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_{1k}M_k={\alpha}\vert A\vert.$

Пусть теперь матрица $ B$ получается из матрицы $ A$ умножением $ j$ -ой строки на число $ {\alpha}$ . Поменяем местами первую и $ j$ -ую строки в матрице $ A$ и то же самое проделаем в матрице $ B$ . Получим две новых матрицы $ A_1$ и $ B_1$ . По предложению 14.8

$\displaystyle \vert A\vert=-\vert A_1\vert,\quad \vert B\vert=-\vert B_1\vert.$ (14.10)
 


Очевидно, что матрица $ B_1$ получается из матрицы $ A_1$ умножением первой строки на число $ {\alpha}$ . Как только что было доказано, $ {\vert B_1\vert={\alpha}\vert A_1\vert}$ . Таким образом, из второго равенства (14.10) находим $ {\vert B\vert=-{\alpha}\vert A_1\vert}$ , отсюда с помощью первого равенства (14.10) получаем $ {\vert B\vert={\alpha}\vert A\vert}$ .     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;