дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование


Производные высших порядков

   Пример 4.19   Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$. Первая производная равна
$\displaystyle f'(x)=(\sin^3x)'=3\sin^2x\cos x;$
далее находим
$\displaystyle f''(x)=3(\sin^2x\cos x)'=3(2\sin x\cos^2x-\sin^3x)=3\sin x(2\cos^2x-\sin^2x).$
    
        Пример 4.20   Пусть $ y=f(x)=e^{kx}$. Тогда
$\displaystyle y'=e^{kx}\cdot k=ke^{kx}; y''=k(e^{kx})'=ke^{kx}\cdot k=k^2e^{kx}; \dots; y^{(n)}=k^ne^{kx}; \dots.$
При $ k=1$ все производные оказываются равными исходной функции: $ (e^x)^{(n)}=e^x.$     
        Пример 4.21   Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$. Тогда
$\displaystyle y'=\cos x,\; y''=-\sin x,\;y'''=-\cos x,\;y^{(4)}=\sin x.$
Поскольку четвёртая производная $ y^{(4)}$ совпала с исходной функцией $ y$, то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при $ k=0;1;2;\dots$ получаем
$\displaystyle y^{(4k)}(x)=\sin x; y^{(4k+1)}(x)=\cos x; y^{(4k+2)}(x)=-\sin x; y^{(4k+3)}(x)=-\cos x.$
Заметим также, что
$\displaystyle y'=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad y''=-\sin x=\sin(x+2\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad y'''=-\cos x=\sin(x+3\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad\quad y^{(4)}=\sin x=\sin(x+4\frac{\pi}{2}).$   
 

Легко видеть, что имеет место общая формула:
$\displaystyle y^{(n)}=(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}).$
    
        Упражнение 4.4   Рассмотрите функцию $ y=\cos x$ и получите для её производных аналогичные формулы.     
        Упражнение 4.5   Найдите производные произвольного порядка $ n$ от гиперболических функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$.     
        Упражнение 4.6   Найдите производные произвольного порядка $ n$ от функции $ y=\ln x$. Придумайте формулу, позволяющую кратко записать выражение для $ y^{(n)}$; эта формула будет содержать знак факториала ( $ n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$).     
        Упражнение 4.7   Докажите, что вторая производная чётной функции является чётной функцией, а вторая производная нечётной функции -- нечётной функцией.    

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;