дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование

Умножение матриц

Докажем дистрибутивность умножения. Чтобы произведение $ {A(B+C)}$ было определено, матрицы $ B$ и $ C$ должны иметь размеры $ n\times k$ . Положим $ {D=B+C}$ , $ {F=A(B+C)}$ , $ {G=AB}$ , $ {H=AC}$ , $ {U=AB+AC}$ . Для доказательства равенства $ {A(B+C)=AB+AC}$ , нужно доказать, что $ {f_{ij}=u_{ij}}$ , $ {i=1,\ldots ,m}$ , $ {j=1,\dots,k}$ .

Так как $ F=AD$ , то

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^n a_{is}d_{sj}.$
По определению суммы матриц, $ d_{sj}=b_{sj}+c_{sj}$ . Следовательно,
$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^na_{is}(b_{sj}+c_{sj}).$ (14.7)

С другой стороны,
$\displaystyle u_{ij}=g_{ij}+h_{ij},\quad g_{ij}=\sum_{s=1}^n a_{is}b_{sj}, \quad h_{ij}=\sum_{s=1}^n a_{is}c_{sj}.$
Тогда
$\displaystyle h_{ij}=\sum_{s=1}^na_{is}b_{sj}+\sum_{s=1}^na_{is}c_{sj}= \sum_{... ..._{is}b_{sj}+a_{is}c_{sj}\right)= \sum_{s=1}^na_{is}\left(b_{sj}+c_{sj}\right).$
Сравнивая полученный результат с(14.7), получаем $ f_{ij}=u_{ij}$ . Первое равенство в свойстве дистрибутивности доказано. Второе равенство доказывается аналогично.

Докажем первое равенство в свойстве 4. Чтобы произведение $ EA$ было определено, матрица $ E$ должна иметь порядок $ m$ . Пусть $ {C=EA}$ . Тогда

$\displaystyle c_{ij}=\sum_{s=1}^m{\delta}_s^ia_{sj},$
где $ {\delta}_s^i$ -- символ Кронекера . Сумма справа имеет вид
$\displaystyle c_{ij}=0\cdot a_{1j}+\ldots+0\cdot a_{i-1,j}+1\cdot a_{ij}+0\cdot a_{i+1,j} +\ldots+0\cdot a_{mj}=a_{ij}.$
Таким образом $ C=A$ , первое равенство в свойстве 4 доказано. Второе равенство доказывается аналогично.
Замечание 14.4 Из ассоциативности умножения матриц следует, что если произведение содержит три и более сомножителей, то его можно записывать без использования скобок. Например, $ ABC$ или $ ABCD$ . Эта кажущаяся очевидной запись произведения верна не для всяких математических объектов. Действительно, в силу предложения 10.23, для векторного произведения векторов запись $ {{\bf a}\times {\bf b}\times {\bf c}}$ неприемлема, так как результат вычисления этого произведения зависит от расстановки скобок.
Замечание 14.5 Свойство дистрибутивности позволяет раскрывать скобки в матричных выражениях. Но нужно обратить внимание, что, раскрывая скобки, нельзя менять порядок сомножителей.
Замечание 14.6 Свойство 4 объясняет происхождение названия "единичная" матрица. В умножении матриц единичная матрица ведет себя так же, как число 1 при умножении чисел.

Упражнение14.4.6. Докажите, что произведение двух верхних треугольных матриц одного порядка является верхней треугольной матрицей того же порядка. Докажите аналогичное утверждение для нижних треугольных матриц.

Упражнение14.4.7. По определению считается, что $ A^n=\underbrace{A\cdot\ldots\cdot A}_n$ . Покажите, что для матриц формула $ {(A+B)^2=A^2+2AB+B^2}$ не верна. Объясните почему.

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;