дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование

Умножение матриц

Замечание 14.3 Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).

У читателя может возникнуть законный вопрос: "Зачем так сложно определять произведение матриц? Нельзя ли его определить попроще, например, как произведение элементов матриц-сомножителей, стоящих на одинаковых местах?" Ответ на этот вопрос мы увидим позже, когда будем рассматривать системы линейных уравнений, правило изменения координат векторов при изменении базиса и такие неизвестные пока читателю объекты как линейные преобразования и квадратичные формы. Тогда мы увидим, что введенное определение умножения матриц используется очень эффективно, что оно "похоже" на умножение чисел. Если же произведение матриц определить по-другому, то его не удается разумно использовать ни в математике, ни в прикладных науках.

Рассмотрим, какими свойствами обладает операция умножения матриц.

Прежде всего отметим, что умножение матриц -- некоммутативная операция. Это означает, что существуют такие матрицы $ A$ и $ B$ , что

$\displaystyle AB\ne BA.$

Для прямоугольных матриц мы убедились в этом в примере 14.3. В нем произведение $ AB$ существует, а произведение $ BA$ -- нет. Для квадратных матриц это видно из следующего примера. Пусть $ A=\left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&0\end{array}\right)$ , $ B =\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right)$ . Тогда

$\displaystyle AB=\left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin... ...0&1\\ 0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right),$
$\displaystyle BA=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin... ...1&0\\ 0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&0\\ 0&0\end{array}\right),$

то есть $ AB\ne BA$ .

Предложение 14.4 Умножение матриц обладает следующими свойствами: $ (AB)C=A(BC)$ -- ассоциативность умножения; $ {\lambda}(AB)=({\lambda}A)B=A({\lambda}B)$ , где $ {\lambda}$ -- число; $ A(B+C)=AB+AC$ , $ (A+B)C=AC+BC$ -- дистрибутивность умножения; $ EA=A$ , $ AE=A$ , где $ E$ -- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

Доказательство. На протяжении всего доказательства предполагается, что $ A$ -- матрица размеров $ m\times n$ .

Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение $ AB$ было определено, матрица $ B$ должна иметь размеры $ n\times k$ . Произведение $ AB$ обозначим буквой $ D$ . Тогда матрица $ D$ имеет размеры $ m\times k$ . Чтобы произведение $ (AB)C=DC$ было определено, матрица $ C$ должна иметь размеры $ k\times r$ . Матрицу $ (AB)C$ обозначим $ F$ , матрицу $ BC$ обозначим $ G$ , матрицу $ A(BC)$ обозначим $ H$ . Покажем, что элементы, стоящие в $ i$ -ой строке и $ j$ -ом столбце матриц $ F$ и $ H$ , равны друг другу, то есть что $ {f_{ij}= h_{ij}}$ .

По определению

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^kd_{is}c_{sj},\quad d_{is}=\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}.$

Подставив $ d_{is}$ из второго равенства в первое, получим
$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^k\left(\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}\right)c_{sj}.$

В силу предложения 14.1
$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^k\left(\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$

В силу предложения 14.3

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{p=1}^n\left(\sum_{s=1}^k a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$ (14.6)

С другой стороны
$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}g_{pj},\quad g_{pj}=\sum_{s=1}^k b_{ps}c_{sj},$

откуда

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}\left(\sum_{s=1}^k b_{ps}c_{sj}\right).$

Применим предложение 14.1
$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n \left(\sum_{s=1}^k a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$

Сравнивая этот результат с(14.6), заключаем, что $ {f_{ij}= h_{ij}}$ . Ассоциативность умножения доказана.

Свойство 2 предоставляем читателю доказать самостоятельно.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;