дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование


Производная композиции

  Пример 4.6   Найдём производную функции $ y=\cos^52x$. Здесь функция имеет вид $ y=u^5$, с промежуточным аргументом $ u=\cos2x$, который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому
\begin{multline*} y'=5u^4u'_x=5(\cos2x)^4(\cos2x)'_x=5\cos^42x(-\sin2x)(2x)'=\\ =-5\cos^42x\sin2x\cdot2=-10\cos^42x\sin2x. \end{multline*}
    
        Пример 4.7   Найдём производные ареа-функций (напомним, что ареа-функции -- это функции, обратные к гиперболическим функциям). Ранее мы записали для них следующие формулы:
$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$   
$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$   

(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $);


$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$   
$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}.$   
 

Поэтому
\begin{multline*} (\mathop{\rm arsh}\nolimits x)'=(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))'= \dfr... ...1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*} (\mathop{\rm arch}\nolimits x)'=(\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})'= \df... ...{\sqrt{x^2-1}}}{x\pm\sqrt{x^2-1}}= \pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}; \end{multline*}
\begin{multline*} (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-... ...dfrac{\dfrac{2}{(1-x)^2}}{\dfrac{1+x}{1-x}}= \dfrac{1}{1-x^2}; \end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*} (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x... ...frac{\dfrac{-2}{(x-1)^2}}{\dfrac{x+1}{x-1}}= \dfrac{1}{1-x^2}. \end{multline*}
Последние две формулы не противоречат друг другу, так как при $ x\in(-1;1)$, а $ (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$ при $ x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$.     

$ (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$

        Упражнение 4.1   Пусть $ f(x)$ -- чётная функция, имеющая производную $ f'(x)$. Докажите, что тогда $ f'(x)$ является нечётной функцией. Наоборот, если $ f(x)$ -- нечётная функция, докажите, что $ f'(x)$ -- чётная функция.
При этом воспользуйтесь тем, что для чётной функции $ f(-x)=f(x)$, а для нечётной функции $ f(-x)=-f(x)$, и примените правило нахождения производной композиции, с промежуточным аргументом $ u(x)=-x$.     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;