дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование


Производная композиции

Пусть $ f(u)$ и $ {\varphi}(x)$ -- такие числовые функции, что определена их композиция $ g(x)=(f\circ{\varphi})(x)=f({\varphi}(x))$. Предположим, что функция $ {\varphi}(x)$ определена в некоторой окрестности точки $ x_0$, а функция $ f(u)$ -- в некоторой окрестности точки $ u_0={\varphi}(x_0)$. Тогда имеет место следующее утверждение.

        Теорема 4.4   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную $ {\varphi}'(x_0)$, а функция $ f(u)$ -- производную $ f'(u_0)$, то композиция $ g(x)=f({\varphi}(x))$ имеет производную
$\displaystyle g'(x_0)=f'(u_0){\varphi}'(x_0).$(4.13)
 

        Доказательство.     Рассмотрим приращение функции $ g(x)$, соответствующее приращению $ {\Delta}x=h$ переменного $ x$:

$\displaystyle {\Delta}g(x_0;h)=g(x_0+h)-g(x_0)=f({\varphi}(x_0+h))-f({\varphi}(x_0))= {\Delta}f(u_0;{\Delta}{\varphi}),$

где $ u_0={\varphi}(x_0)$ и $ {\Delta}{\varphi}-{\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0)$. Так как функция $ f(u)$ имеет дифференциал в точке $ u_0$ (см.  теорему 4.3), то

$\displaystyle {\Delta}f(u_0;{\Delta}{\varphi})=f'(u_0){\Delta}{\varphi}+{\alpha... ...arphi}(x_0)h+{\beta}(x_0;h)h)+{\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\Delta}{\varphi},$

где $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})\to0$ при $ {\Delta}{\varphi}\to0$ и $ {\beta}(x_0;h)\to0$ при $ h\to0$. Раскрываем скобки далее:

$\displaystyle {\Delta}g(x_0;h)=f'(u_0){\varphi}'(x_0)h+f'(u_0){\beta}(x_0;h)h+{... ...ta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)h+ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)h=$   
$\displaystyle =f'(u_0){\varphi}(x_0)h+h[ f'(u_0){\beta}(x_0;h)+{\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)+ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)].$   
 


Теперь, в соответствии с теоремой 4.3, осталось доказать, что в последней формуле в квадратных скобках стоит величина, бесконечно малая при $ h\to0$. Первое слагаемое $ f'(u_0){\beta}(x_0;h)$ бесконечно мало, поскольку $ f'(u_0)$ вообще не зависит от $ h$, а $ {\beta}(x_0;h)$ -- бесконечно малая при базе $ h\to0$. Во втором слагаемом $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)$ постоянной является величина $ {\varphi}'(x_0)$. Покажем, что $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})={\alpha}(u_0;{\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0))\to0$ при $ h\to0$. Так как функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную при $ x=x_0$, то $ {\varphi}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$, откуда $ {\varphi}(x_0+h)\to{\varphi}(x_0)$ и, следовательно, $ {\Delta}{\varphi}={\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0)\to0$ при $ h\to0$. Поэтому $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})\to0$ при $ h\to0$, по предположению о величине $ {\alpha}$. Для третьего слагаемого $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)$ заметим, что $ {\alpha}$, как только что было доказано, есть бесконечно малая и, следовательно, локально ограниченная функция при $ h\to0$, а $ {\beta}$ -- бесконечно малая. Значит, их произведение также бесконечно мало при $ h\to0$. Тем самым, в квадратных скобках стоит сумма трёх бесконечно малых, которая также является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.     

        Замечание 4.9   Мы можем пояснить происхождение формулы (4.13), то есть формулы $ y'=f'\cdot{\varphi}'$, где $ y=f(u),u={\varphi}(x)$, записав её в виде
$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}.$
Эта формула получается предельным переходом из очевидного равенства
$\displaystyle \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}=\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}u}\cdot\dfrac{{\Delta}u}{{\Delta}x},$
однако такое доказательство формулы (4.13) имеет существенный недостаток, поскольку ниоткуда не следует, что $ {\Delta}u\ne0$ при всех $ {\Delta}x=h\ne0$. Тем не менее, смысл формулы для производной композиции функций при этом, несомненно, проясняется.     
    

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;