дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 

Параллельный перенос системы координат

 Пример 13.2   Нарисуйте поверхность $ 4x^2-y^2+z^2+8x-4y-2z=3$ .
Решение. Выделим полные квадраты по переменным $ x$ , $ y$ и $ z$ (см. пример 12.1):
$\displaystyle 4(x^2+2x+1)-4-(y^2+4y+4)+4+(z^2-2z+1)-1=3.$
Отсюда
$\displaystyle 4(x+1)^2-(y+2)^2+(z-1)^2=4.$
Разделим обе части на 4:
$\displaystyle \frac{(x+1)^2}{1^2}-\frac{(y+2)^2}{2^2}+\frac{(z-1)^2}{2^2}=1.$
Введем новую систему координат с началом в точке $ O_1(-1;-2;1)$ , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 13.1 получим, что в новой системе поверхность задается уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$
Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат ( $ O_1\tilde y$ ) и аппликат ($ O_1\tilde z$ ). Не переобозначая осей, произведем построение поверхности с помощью сечений. В сечении плоскостью $ \tilde xO_1\tilde z$ получаем эллипс с уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$
Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях $ O_1\tilde x$ и $ O_1\tilde y$ . В сечении плоскостью $ \tilde xO_1\tilde y$ получаем гиперболу с уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$
Ее мнимая ось лежит на оси $ O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $ O_1\tilde x$ , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью $ \tilde yO_1\tilde z$ получаем равностороннюю гиперболу с уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde z^2}{2^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$
Ее мнимая ось лежит на оси $ O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $ O_1\tilde z$ , обе полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости $ \tilde xO_1\tilde z$ . В сечениях получим эллипсы, подобные эллипсу в плоскости $ \tilde xO_1\tilde z$ . По рассмотренным сечениям можно представить себе форму гиперболоида и его расположение в пространстве (рис. 13.33). Объемное изображение приведено на рис. 13.34.


Рис.13.33.Изображение поверхности с помощью сечений




Рис.13.34.Объемное изображение поверхности

 

       

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;