дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование


Производные некоторых элементарных функций

    

1. Выше мы уже рассмотрели линейную функцию $ f(x)=kx+b$ и показали, что её производная равна угловому коэффициенту $ k$:

$\displaystyle (kx+b)'=k.$

2. Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$. Дадим аргументу $ x$ приращение $ h$ и найдём приращение функции: $ {\Delta}f=(x+h)^2-x^2=2xh+h^2$. Поэтому

$\displaystyle (x^2)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.$
(Можно доказать эту формулу и так:
$\displaystyle (x^2)'=(x\cdot x)'=x'x+x'x=1\cdot x+1\cdot x=2x.$
Здесь мы применили формулу (4.9).) Точно так же для функции $ f(x)=x^3$ получаем: $ {\Delta}f=(x+h)^3-x^3=3x^2h+3xh^2+h^3$, откуда
$\displaystyle (x^3)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2.$
(И здесь, применяя формулу (4.9), мы можем действовать так:
$\displaystyle (x^3)'=(x^2\cdot x)'=(x^2)'x+x'x^2=2x\cdot x+1\cdot x^2=3x^2.)$
Такие же вычисления для функции $ f(x)=x^n$ при целом $ n\geqslant 4$ можно провести, разложив $ (x+h)^n$ по формуле бинома Ньютона (см. гл. 2). При этом получится формула
$\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}.$(4.12)

(Проведите это вычисление самостоятельно в качестве упражнения. Другой способ доказательства этой формулы -- представить $ x^n$ в виде $ x^{n-1}\cdot x$ и применить метод математической индукции, воспользовавшись тем, что при $ n=2$ и 3 формула уже доказана.) При $ n=0$ и $ n=1$ формула (4.12) совпадает, соответственно, с формулами (4.5) и (4.6). Ниже мы докажем, что эта формула верна при любом $ n\in\mathbb{R}$, в том числе при дробных и отрицательных значениях $ n$.

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;