дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование


Свойства производных

  Замечание 4.5   Обозначим функцию $ f(x)$ через $ u$, а функцию $ g(x)$ через $ v$. Тогда формулы (4.7 - 4.10) можно более коротко записать в виде
$\displaystyle (u\pm v)'=u'\pm v';\quad (uv)'=u'v+v'u; \quad \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ (при $\displaystyle v\ne0). $
Именно в таком кратком виде мы и рекомендуем запоминать эти формулы.     
        Следствие 4.1   Применяя формулу (4.9) к случаю, когда $ g(x)=k=\mathrm{const}$, и учитывая, что $ k'=0$ (см. формулу (4.5)), мы получаем, что
$\displaystyle (kf(x))'=kf'(x),$
то есть что постоянный множитель можно выносить из под знака производной.     

Из этого следствия и формулы (4.7) получается следующее свойство производных: если $ C_1$ и $ C_2$ -- постоянные и $ f_1,f_2$ -- дифференцируемые в точке $ x_0$ функции, то

$\displaystyle (C_1f_1(x)+C_2f_2(x))'=C_1f_1'(x)+C_2f_2'(x).$(4.11)

Если операцию вычисления производной в точке $ x_0$ обозначить $ D_{x_0}$, то есть $ {D_{x_0}(f(x))=f'(x_0)}$, то равенство (4.11) означает линейность этой операции дифференцирования в точке:
$\displaystyle D_{x_0}(C_1f_1(x)+C_2f_2(x))=C_1D_{x_0}(f_1(x))+C_2D_{x_0}(f_2(x)).$

Поскольку дифференцируемость функции на интервале или отрезке мы определяли как дифференцируемость в каждой точке этого интервала или отрезка, то тем самым мы показали, что операция $ D$ перехода от функции $ f$ к её производной $ f'$, $ D(f)=f'$, также обладает свойством линейности:

$\displaystyle D(C_1f_1+C_2f_2)=C_1D(f_1)+C_2D(f_2).$
При этом в случае отрезка действие $ D$ на функцию в точке, являющейся одним из концов отрезка, понимается как вычисление соответствующей односторонней производной: в левом конце -- правой, а в правом конце -- левой.

Эти результаты можно выразить ещё и таким образом. Рассмотрим пространство $ \mathcal{D}_{x_0}$ всех функций $ f$, определённых на некотором фиксированном интервале $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ и имеющих производную $ f'(x_0)$ в точке $ x_0$. Тогда операции умножения на постоянные множители и сложения не выводят из этого пространства, то есть пространство $ \mathcal{D}_{x_0}$ -- это линейное пространство; при этом операция $ D_{x_0}$ -- это линейная операция из пространства $ \mathcal{D}_{x_0}$ в линейное пространство вещественных чисел:

$\displaystyle D_{x_0}:\mathcal{D}_{x_0}\to\mathbb{R};\quad D_{x_0}:f(x)\mapsto f'(x_0).$

То же верно и для пространств функций, дифференцируемых на интервале $ (a;b)$ (обозначим это пространство $ \mathcal{D}_{(a;b)}$) или на отрезке $ [a;b]$ (обозначим это пространство $ \mathcal{D}_{[a;b]}$). Оба этих пространства -- линейные (то есть замкнуты относительно применения к функциям из этих пространств операций сложения и умножения на постоянные), а операция дифференцирования $ D$ действует как линейная операция из этих линейных пространств в линейное пространство функций, непрерывных на данном интервале (обозначим это пространство $ \mathcal{C}_{(a;b)}$; см. предложение 3.4) или отрезке (обозначим это пространство $ \mathcal{C}_{[a;b]}$; также см. предложение 3.4), так как в соответствии с теоремой 4.1 производная каждой дифференцируемой функции $ f(x)$ -- это непрерывная функция $ f'(x)=D(f(x))$:

$\displaystyle D:\mathcal{D}_{(a;b)}\to\mathcal{C}_{(a;b)};\quad D:f(x)\mapsto f'(x);$
$\displaystyle D:\mathcal{D}_{[a;b]}\to\mathcal{C}_{[a;b]};\quad D:f(x)\mapsto f'(x).$

Тем самым операция $ D$ -- это линейная функция, областью определения которой служит пространство всех дифференцируемых функций, а область значений $ \mathcal{E}(D)$ лежит в пространстве непрерывных функций. Функции, областями определения и областями значения которых служат некоторые пространства функций, в математике принято называть операторами. Таким образом, операция дифференцирования $ D$ -- это линейный оператор из линейного пространства $ \mathcal{D}_{(a;b)}$ в линейное пространство $ \mathcal{C}_{(a;b)}$ и из линейного пространства $ \mathcal{D}_{[a;b]}$ в линейное пространство $ \mathcal{C}_{[a;b]}$.    

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;