дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 

Параболоиды

        Определение 13.7   Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид
$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2},$(13.13)
 

где $ a$ и $ b$ -- положительные числа.         

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости $ xOz$ , $ yOz$ и координатная ось $ Oz$ .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0.$

Координаты только одной точки плоскости $ xOy$ могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle z=\frac{y^2}{b^2}.$

Это уравнение параболы на плоскости $ yOz$ . Построим ее (рис. 13.19). Сечение плоскостью $ xOz$ также является параболой. Нарисуем и ее (рис. 13.19). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью $ {z=h}$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=h,\\ z=h. \end{array}\right.$

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если $ {h=0}$ . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть $ h>0$ . Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2h}+ \frac{y^2}{b^2h}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.14)
 


где $ a_1=a\sqrt h$ , $ b_1=b\sqrt h$ . Уравнение (13.14) является уравнением эллипса. Нарисуем полученное сечение (рис. 13.19). При $ h<0$ плоскость поверхность не пересекает.




Рис.13.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями


Найдем сечения параболоида плоскостями $ z=\pm m$ , параллельными плоскости $ xOz$ . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{m^2}{b^2},\\ y=\pm m, \end{array}\right.$

и являются параболами, такими же, как в плоскости $ xOz$ , только сдвинутыми вверх на величину $ \frac{m^2}{b^2}$ , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.20).




Рис.13.20.Дополнительные сечения параболоида


Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости $ xOz$ . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости $ xOz$ , а вершина скользила по параболе в плоскости $ yOz$ .

Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.21.




Рис.13.21.Эллиптический параболоид


Если в уравнении (13.13) $ {a=b}$ , то сечения плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.22).




Рис.13.22.Параболоид вращения

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;