дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование

Производная

Замечание 4.1 В числителе дроби, предельное значение которой даёт производную, стоит выражение $ {\Delta}y=y_1-y_0=f(x_1)-f(x_0)=f(x_0+h)-f(x_0)$. Оно называется приращением функции. В знаменателе стоит величина $ {\Delta}x=x_1-x_0=h$. Она называется приращением аргумента. Величина $ \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}$ называется разностным отношением Условие $ h\to0$ можно, очевидно, записать в виде $ {\Delta}x\to0$ (кстати, база $ h\to0$ эквивалентна базе $ x_1\to x_0$). Тем самым определение производной можно записать в таком виде:
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}.$
От такой записи происходит обозначение производной в виде $ \dfrac{dy}{dx}(x_0)$.

Пример 4.1 Рассмотрим линейную функцию $ y=f(x)=kx+b$. Тогда $ {{\Delta}y=(k(x_0+h)+b)-(kx_0+b)=kh=k{\Delta}x}$, $ \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}=\dfrac{k{\Delta}x}{{\Delta}x}=k$ и $ f'(x_0)=\lim\limits_{{\Delta}x\to0}k=k$ при любом $ x_0$. Получаем, что для линейной функции производная в любой точке равна угловому коэффициенту $ k$. (Что неудивительно: ведь касательная к прямой, служащей графиком линейной функции,-- это та же самая прямая, а угловой коэффициент касательной равен производной!) В частности, при $ k=0$ получаем, что производная любой постоянной, то есть функции $ y=b=\mathrm{const}$, равна 0:
$\displaystyle (\mathrm{const})'=0,$(4.5)

а при $ k=1$ и $ b=0$ получаем, что
$\displaystyle x'=1.$(4.6)

Пример 4.2 Пусть $ f(x)=\vert x\vert$ и $ x_0=0$. Вычислим односторонние производные $ f'_+(0)$ и $ f'_-(0)$.
При $ h>0$ имеем $ x_0+h=h>0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{h-0}{h}=1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}1=1.$
При $ h<0$ имеем $ x_0+h=h<0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=-h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{-h-0}{h}=-1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}(-1)=-1.$
Графически это означает следующее. Мы строим касательную к графику
$\displaystyle y=\vert x\vert=\left\{\begin{array}{ll} -x,&\mbox{ при }x<0;\\ x,&\mbox{ при }x\geqslant 0, \end{array}\right.$
в точке $ M_0=O$, сначала пользуясь секущими $ M_0M_1$ с точкой $ M_1$ правее $ M_0$. Эта касательная, как и все такие секущие, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ \frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\pi}{4}=1=f'_+(0)$). Далее, мы строим касательную, пользуясь секущими $ M_0M_2$ с точкой $ M_2$ левее $ M_0$. Все такие секущие и касательная, по ним построенная, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=-x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ -\frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits (-\frac{\pi}{4})=-1=f'_-(0)$).
Рис.4.4.График $ y=\vert x\vert$ имеет излом при $ x=0$

Таким образом, неравенство левой и правой производной выражает тот геометрический факт, что линия $ y=\vert x\vert$ имеет при $ x=0$ излом под углом $ \frac{\pi}{2}$ и не имеет общей касательной сразу к двум сторонам этого угла.

Покажем теперь, что дифференцируемая функция не может быть разрывной.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;