дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование

Производная

Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами

\begin{subequations}\begin{gather} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{... ..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{gather}\end{subequations}
 


при этом в формуле (4.3a) функция должна быть определена на некотором интервале $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, в формуле (4.3b) -- на некотором полуинтервале $ [x_0;x_0+{\delta})$, а в формуле (4.3c) -- на некотором полуинтервале $ (x_0-{\delta};x_0]$.

Функция, имеющая в точке $ x_0$ производную (соотв. левую производную, правую производную), называется дифференцируемой (соотв. дифференцируемой слева, дифференцируемой справа) в точке $ x_0$. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала $ (a;b)$, называется дифференцируемой на интервале $ (a;b)$. Пусть теперь $ [a;b]$ -- замкнутый отрезок. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала $ (a;b)$, дифференцируемая справа в точке $ a$ и дифференцируемая слева в точке $ b$, называется дифференцируемой на отрезке $ [a;b]$.

Вычислим производную данной функции $ f(x)$ в различных точках $ x$ некоторого интервала $ (a;b)$ и предположим, что производная $ f'(x)$ существует при всех $ x\in(a;b)$. Тогда мы можем задать соответствие между точками $ x$ интервала и числами $ f'(x)$ и получаем функцию $ f': (a;b)\to\mathbb{R}; f':x\mapsto f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной от функции $ f$ (или первой производной от $ f$).

С математической точки зрения, разница между формулами (4.3 a-c) невелика: согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними, если существует производная $ f'(x_0)$, то существуют обе односторонние производные (правая $ f'_+(x_0)$ и левая $ f'_-(x_0)$), и $ f'(x_0)=f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$. Обратно, если существуют и равны друг другу односторонние производные, $ f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$, то существует и производная $ f'(x_0)$, совпадающая с их общим значением.

В предположении, что производная $ f'(x_0)$ существует, мы можем теперь сказать, что число $ f'(x_0)$ задаёт мгновенную скорость изменения координаты $ y=f(x)$ при $ x=x_0$; с геометрической точки зрения, эта скорость равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$: чем быстрее растут (или убывают) значения функции, тем круче наклонён график к оси $ Ox$ (составляя, соответственно, положительный или отрицательный угол с осью $ Ox$).

Рис.4.3.Скорость роста значений функции соответствует величине тангенса угла наклона касательной

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;