дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование


Касательная к кривой на плоскости

 Определение 4.2   Число $ k_{x_0}$, в случае если задающий его предел существует, называют производной функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначают $ f'(x_0)$. Иногда для уточнения говорят, что производная вычислена по переменной $ x$.     

Поскольку мы знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку $ (x_0;y_0)$ с угловым коэффициентом $ k=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}$, -- это $ Y=y_0+k(x-x_0)$ (где $ (x;Y)$ -- текущая точка прямой), то мы можем теперь выписать уравнение касательной к графику $ y=f(x)$ при $ {x=x_0}$, то есть касательной, проходящей через точку $ (x_0;f(x_0))$ с угловым коэффициентом, равным производной $ k_{x_0}=f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$:

$\displaystyle Y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$

Пусть дана некоторая кривая $ y=f(x)$, и в точке $ (x_0;y_0)$ к этой кривой проведена касательная. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к линии $ y=f(x)$.

Рис.4.2.Касательная и нормаль к линии $ y=f(x)$

Если касательная имеет угловой коэффициент $ k=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}$, то нормаль имеет угловой коэффициент $ k_1=-\dfrac{1}{k}=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}$, поскольку ввиду перпендикулярности нормали и касательной угол наклона нормали равен $ {\beta}={\alpha}+\frac{\pi}{2}$, а $ k_1=\mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\mathop{\rm tg}\nolimits ({\alpha}+\frac{\pi}{2})=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}.$ Поэтому уравнение нормали к линии $ y=f(x)$, проведённой через точку $ (x_0;y_0)$, имеет вид:

$\displaystyle Y=y_0-\dfrac{1}{k}(x-x_0),$

или

$\displaystyle Y=f(x_0)-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0).$

 

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;