дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи Интегрирование и дифференцирование


Касательная к кривой на плоскости

Пусть на координатной плоскости $ xOy$ построен график функции $ f(x)$, и $ x_0$ -- некоторая внутренняя точка области определения $ \mathcal{D}(f)$. Прямая, проходящая через точки $ M_0(x_0;y_0)$ и $ M_1(x_1;y_1)$, где $ y_0=f(x_0)$ и $ y_1=f(x_1)$ ( $ x_1\ne x_0$), -- это секущая по отношению к графику $ y=f(x)$.

Касательной к линии $ y=f(x)$ в точке $ M_0$ называется прямая $ M_0N$, служащая предельным положением секущих (прямых $ M_0M_1$), при условии, что точка $ M_1$ приближается, следуя по линии $ y=f(x)$, к точке касания $ M_0$.

Рис.4.1.Касательная -- это предельное положение секущих

Этому не вполне строгому определению можно придать точный смысл, если задавать положения всех прямых, проходящих через точку $ M_0$, то есть секущих и касательной, их углом наклона по отношению к положительному направлению оси $ Ox$. Обозначим через $ {\beta}$ угол наклона прямой $ M_0M_1$. Очевидно, что, вообще говоря, угол $ {\beta}$ зависит от выбора точки $ M_1$: $ {\beta}={\beta}(x_1)$ (считаем, что точка $ M_0$ фиксирована). Так как секущая проходит через точки с координатами $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$, то

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_1)=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$

Если теперь обозначить через $ h$ приращение абсциссы $ x$ при переходе от точки $ x_0$ к точке $ x_1$, то есть $ h=x_1-x_0$, то получим, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Приближение точки $ M_1$ к точке $ M_0$ вдоль кривой $ y=f(x)$ означает, что $ h\to0$; при этом угол $ {\beta}$ приближается, по определению, к углу $ {\alpha}$ наклона касательной $ M_0N$:

$\displaystyle {\alpha}=\lim_{h\to0}{\beta}(x_0+h).$

Предположим, что этот предел существует (что означает существование касательной) и не равен $ \pm\frac{\pi}{2}$. Тогда, вследствие того, что тангенс непрерывен при $ x\ne\pm\frac{\pi}{2}+2m\pi$ ( $ m\in\mathbb{Z}$), получаем, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\lim_{h\to0}\mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Итак, по определению, мы называем прямую $ M_0N$ наклонной касательной (или просто касательной) к линии $ y=f(x)$ в точке $ M_0(x_0;f(x_0))$, если она имеет тангенс угла $ {\alpha}$ наклона к оси $ Ox$, равный

$\displaystyle k_{x_0}=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$(4.3)
 


Число $ k_{x_0}$ называют угловым коэффициентом касательной к графику функции при $ {x=x_0}$.

Если же $ {\alpha}=\lim\limits_{h\to0}{\beta}(x_0+h)=\pm\frac{\pi}{2}$, то прямая $ M_0N$ оказывается вертикальной (перпендикулярной к оси $ Ox$). В этом случае будем говорить, что график $ y=f(x)$ имеет вертикальную касательную в точке $ M_0$. Этот случай соответствует тому, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to+\infty$

или

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to-\infty$

при $ h\to0$.

       

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;