дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 

Гиперболоиды

        Определение 13.4   Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$(13.6)

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- положительные числа.         

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Это уравнение на плоскости $ xOy$ задает эллипс с полуосями $ a$ и $ b$ (рис. 13.8). Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

Это уравнение гиперболы на плоскости $ yOz$ , где действительная полуось равна $ b$ , а мнимая полуось равна $ c$ . Построим эту гиперболу (рис. 13.8).




Рис.13.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями


Сечение плоскостью $ xOz$ также является гиперболой с уравнением

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1+\dfrac{h^2}{c^2},\\ z=\pm h. \end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.7)


где $ a_1=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$ , $ b_1=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$ . Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости $ xOy$ , с коэффициентом подобия $ \sqrt{1+\frac {h^2}{c^2}}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.9).




Рис.13.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений


Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке 13.10.




Рис.13.10.Однополостный гиперболоид


Если в уравнении (13.6) $ {a=b}$ , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.11).




Рис.13.11.Однополостный гиперболоид вращения


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;