дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра


Параллельный перенос системы координат

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: $ xOy$ ("старая") и $ \tilde xO_1\tilde y$ ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены (рис. 12.19)




Рис.12.19.Параллельный перенос системы координат


В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".

Пусть начало $ O_1$ "новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты $ (x_1;y_1)$ , и пусть $ M$  -- некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки $ M$ в "старой" системе координат $ (x_0;y_0)$ , а в "новой" -- $ (\tilde x_0;\tilde y_0)$ . Из рис. 12.19 ясно, что $ {x_0=x_1+\tilde x_0}$ , $ {y_0=y_1+\tilde y_0}$ . Откуда $ {\tilde x_0=x_0-x_1}$ , $ {\tilde y_0=y_0-y_1}$ . Так как точка $ M$ взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат:

$\displaystyle \tilde x=x-x_1,\quad\tilde y=y-y_1.$(12.11)

Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.

        Предложение 12.6   Пусть некоторая кривая задана уравнением $ {F(x,y)=0}$ . Тогда в системе координат $ \tilde xO_1\tilde y$ , полученной параллельным переносом, с началом в точке $ O_1(x_1;y_1)$ уравнение кривой будет иметь вид $ {F(\tilde x+x_1;\tilde y+y_1)=0}$ .     

Однако, для практического использования это предложение удобнее сформулировать немного подругому.

        Предложение 12.7   Пусть некоторая кривая задана уравнением $ {F(x-x_1;y-y_1)=0}$ . Тогда в системе координат $ \tilde xO_1\tilde y$ , полученной параллельным переносом, с началом в точке $ O_1(x_1;y_1)$ уравнение кривой будет иметь вид $ {F(\tilde x;\tilde y)=0}$ .     

Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул (12.11) связи между старыми и новыми координатами.


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;