дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики задачи Аналитическая геометрия

Непрерывность обратной функции

Пусть $ f(x)$ -- функция, непрерывная на отрезке $ [a;b]$. Предположим, что $ f(x)$ монотонна на $ [a;b]$; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$. Тогда образом отрезка $ [a;b]$ будет отрезок $ [c;d]$, где $ c=f(a)$ и $ d=f(b)$ (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между $ f(a)$ и $ f(b)$ значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к $ y=f(x)$ функция $ {x={\varphi}(y)}$ функция, действующая из $ [c;d]$ в $ [a;b]$. Очевидно, что $ {\varphi}$ монотонно возрастает. (Если бы функция $ f$ была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция $ {\varphi}$ тоже была бы монотонно убывающей.)

        Теорема 3.11   Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$, $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.

        Доказательство.     Во-первых, заметим, что если $ x_1\ne x_2$, $ x_1,x_2\in[a;b]$, то $ {\vert f(x_2)-f(x_1)\vert=\vert y_2-y_1\vert>0}$.

Во-вторых, пусть $ 0<h<b-a$; рассмотрим функцию $ g_h(x)=f(x+h)-f(x)$, которая определена при $ x\in[a;b-h]$. Очевидно, что $ g_h$ -- непрерывная на $ [a;b-h]$ функция, поэтому она принимает наименьшее значение $ {\alpha}_h$ в некоторой точке $ \xi\in[a;b-h]$:

$\displaystyle \min\limits_{[a;b-h]}g_h(x)=g_h(\xi)=f(\xi+h)-f(\xi)={\alpha}_h>0.$
Таким образом, если $ \vert x_2-x_1\vert\geqslant h$, то $ \vert f(x_2)-f(x_1)\vert\geqslant {\alpha}_h$, то есть если $ \vert f(x_2)-f(x_1)\vert<{\alpha}_h$, то $ \vert x_2-x_1\vert<h$. Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа $ {\varepsilon}(=h)>0$ найдётся число $ {\delta}(={\alpha}_h)>0$, такое что при $ \vert y_2-y_1\vert<{\delta}$ выполняется неравенство $ \vert{\varphi}(y_2)-{\varphi}(y_1)\vert<{\varepsilon}$. (При этом $ y_1=f(x_1)$, $ y_2=f(x_2)$, $ x_1={\varphi}(y_1)$, $ x_2={\varphi}(y_2)$.) Получили, что функция $ {\varphi}$ удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке $ [c;d]$; тем самым доказано утверждение теоремы.     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;