дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики задачи Аналитическая геометрия

Свойства функций, непрерывных в точке

Поскольку точки $ x_0$ непрерывности функции $ f(x)$ задаются условием $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, то часть свойств функций, непрерывных в точке $ x_0$, следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.

        Теорема 3.1   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Если $ g(x_0)\ne0$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непрерывна в точке $ x_0$.

        Доказательство.     Оно сразу же следует из теорем о пределах 2.8, 2.9, 2.10 и следствия 2.5.     

Как непосредственное следствие этой теоремы получается следующее

        Предложение 3.3   Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ точки $ x_0$ и непрерывных в этой точке. Тогда это множество $ \mathcal{C}_{x_0}$ является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:
$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_{x_0}, C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_{x_0}.$

        Доказательство.     Действительно, постоянные $ C_1$ и $ C_2$ -- это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке $ x_0$ пpоизведения $ C_1f_1(x)$ и $ C_2f_2(x)$. Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке $ x_0$ и сумма $ C_1f_1(x)+C_2f_2(x)$.     

        Теорема 3.2   Пусть функции $ f$ и $ g$ таковы, что существует композиция $ {h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))}$, $ x\in\mathcal{D}(g)$. Пусть функция $ g$ непрерывна в точке $ x_0\in\mathcal{D}(g)$, а функция $ f$ непрерывна в соответствующей точке $ u_0=g(x_0)\in\mathcal{D}(f)$. Тогда композиция $ h=f\circ g$ непрерывна в точке $ x_0$.

        Доказательство.     Заметим, что равенство $ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)$ означает, что при $ x\to x_0$ будет $ u=g(x)\to u_0=g(x_0)$. Значит,

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}h(x)=\lim_{x\to x_0}f(g(x))=\lim_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)$

(последнее равенство следует из непрерывности функции $ f$ в точке $ u_0$). Значит,

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}h(x)=f(u_0)=f(g(x_0))=h(x_0),$

а это равенство означает, что композиция $ h=f\circ g$ непрерывна в точке $ x_0$.     

Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу $ x\to x_0$ на односторонние базы $ x\to x_0-$ или $ x\to x_0+$ и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;