дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики задачи Аналитическая геометрия


Определение точек разрыва

   Пример 3.9   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$
При $ x\ne k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \vert\cos x\vert\in[0;1)$, так что последовательность $ y_n=(\cos x)^n=\cos^nx$ -- это геометрическая прогрессия со знаменателем $ q=\cos x$, $ \vert q\vert<1$, и $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0.$ При $ x=2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \cos x=1$, и все $ y_n=1^n=1$, так что $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=1.$ При $ x=\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \cos x=-1$, и последовательность имеет вид
$\displaystyle y_1=-1,\ y_2=1,\ y_3=-1,\ y_4=1,\dots.$
Эта последовательность предела не имеет, так что функция $ f(x)$ не определена при $ x\in\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$.
Рис.3.11.График функции $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\cos^nx$

Получаем, что $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{x=\pi+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}$. Точками разрыва этой функции служат как все точки, не принадлежащие области определения (точки вида $ x=\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$), так и все точки вида $ x=2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, в которых функция принимает значение 1. Все точки разрыва -- устранимые, так как пределы функции слева и справа в этих точках совпадают и равны 0.     
        Пример 3.10   Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$; её область определения $ {\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$, и точка $ x=0$ -- точка разрыва. Рассмотрим поведение функции слева и справа от точки разрыва. При $ x\to0-$ будет $ \frac{1}{x}\to-\infty$ и $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}\to0$; при $ x\to0+$ будет $ \frac{1}{x}\to+\infty$ и $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}\to+\infty$. Итак, значения "на правом берегу" разрыва не существует, и разрыв функции $ f(x)$ в точке $ x=0$ -- второго рода.     

Рис.3.12.График функции $ y=e^{\frac{1}{x}}$

        Замечание 3.1   Если функция $ f(x)$ не определена на интервале, примыкающем к точке $ x_0$ слева или справа, то точку $ x_0$ мы не считаем точкой разрыва функции.     
        Пример 3.11   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Её область определения -- $ {\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:1-x^2>0\}=(-1;1)}$. При $ {x\to-1+}$ и при $ {x\to1-}$ знаменатель $ {\sqrt{1-x^2}}$ стремится к 0 и положителен, так что $ {f(x)\to+\infty}$. однако точки $ {x=-1}$ и $ {x=1}$ мы не считаем точками разрыва, так как функция $ f(x)$ не определена при $ {x<-1}$ и при    $ {x>1}$.     

Рис.3.13.График функции $ y=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

        Пример 3.12   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$. Её область определения -- это $ {\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}}$. Точка $ {x=0}$ не является точкой разрыва функции $ f(x)$, несмотря на характер её поведения при $ {x\to0+}$, поскольку функция $ f(x)$ не определена при $ {x<0}$.     

Рис.3.14.График функции $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$

     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;