дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики задачи Аналитическая геометрия


Определение точек разрыва

Дадим теперь определение точек разрыва функции.

        Определение 3.2   Точка $ x_0$ называется точкой разрыва функции $ f(x)$, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки $ x_0$ (то есть определена на некотором интервале, для которого $ x_0$ служит внутренней точкой, но в самой точке $ x_0$, возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) не существует предела слева $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$;
2) не существует предела справа $ \lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$;
3) пределы слева $ f(x_0-)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ и справа $ f(x_0+)=\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$ существуют, но не равны друг другу: $ f(x_0-)\ne f(x_0+)$;
4) пределы слева $ f(x_0-)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ и справа $ f(x_0+)=\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$ существуют и равны друг другу: $ f(x_0-)=f(x_0+)$, но не совпадают со значением функции в точке $ x_0$: $ f(x_0)\ne f(x_0-)=f(x_0+)$, или функция $ f(x)$ не определена в точке $ x_0$.
Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва $ x_0$ называется точкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки $ x_0$ называется разрывом первого рода в точке $ x_0$; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке -- устранимым разрывом.
Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва $ x_0$ называется точкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки -- разрывом второго рода в точке $ x_0$.     

Итак, если функция $ f(x)$ имеет разрыв первого рода в точке $ x_0$, то существуют, как часто говорят, значения функции "на берегах разрыва": $ f(x_0-)$ и $ f(x_0+)$, но точка $ x_0$ не является точкой непрерывности.

Рис.3.2.$ x_0$ -- точка разрыва первого рода

Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке $ x_0$ может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно $ x_0$ будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке $ x_0$, либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию $ f(x)$ в точке $ x_0$, положив $ f(x_0)=f(x_0-)=f(x_0+)$, то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке $ x_0$ и разрыв в точке $ x_0$ исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.

Рис.3.3.$ x_0$ -- точка устранимого разрыва

Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки $ x_0$, где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке.

Рис.3.4.$ x_0$ -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные варианты

     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;